8.2.5. Главные (нормальные) координаты

Независимость структуры уравнений Лагранжа от выбора обобщенных координат

наводит на мысль о возможности введения таких координат, называемых главными, чтобы каждое из уравнений Лагранжа содержало бы только одну координату, или, что равносильно, чтобы матрицы жесткости и инерции были бы диагональными.

Можно было бы сослаться на теорему из линейной алгебры, которая утверждает, что две симметричные матрицы, одна из которых положительна (в данном случае это матрица инерции ), можно одним неособенным преобразованием привести к диагональному виду, но уже рассмотренные собственные формыпозволяют без труда это сделать.

Введем новые координаты по формулам

(10)

или

Имеем и, учитывая ортогональность

.

Совершенно аналогично , где.

Таким образом, система уравнений Лагранжа в главных координатах распадается на уравнений вида

, (11)

решения которых являются главными колебаниями

.

Ясно, что отыскание главных координат по сути означает решение исходной задачи по вычислению собственных частот и форм, поэтому главные координаты имеют, главным образом, теоретическое значение, позволяющее рассмотреть некоторые особые случаи.

1. Случай кратных частот

В общем случае система в случае кратных собственных чисел (частот) имеет решения, содержащие времявне синуса (т.н. вековые члены).Так, в случае корня второй кратности, соответствующее решение должно иметь вид, то есть амплитуда колебаний должна неограниченно возрастать, что противоречит факту сохранения полной энергии консервативной системы.

Дело в том, что в случае симметричности матриц вековых членов не возникает, что и видно из уравнений движения в главных координатах (11).

Практически же случай равных частот весьма распространен, а иногда и желателен. Так,

наиболее рациональной является такая конструкция автомобиля, при которой угловые и вертикальные колебания кузова независимы и, более того, их частоты равны.

Простой пример тела с двумя равными частотами- груз на стержне с одинаковой во всех направлениях изгибной жесткостью.