Пример 3. Движение точки по качающейся поверхности.

По палубе раскачивающегося судна скользит материальная точка. Ориентация палубы задается углами крена  и дифферента . Надо составить уравнения движения Лагранжа.

Ориентацию палубы проще всего описать тензором поворота ,

который переводит отсчетные в актуальные:. В матричном виде

P=

Угловая скорость, положение точки, скорость , . Слагаемое – переносная скорость,- относительная.

Запишем все величины в актуальном базисе :

Кинетическая энергия ,

мощность =+

++

Где – сила, с которой палуба действует на точку, а выражения в квадратных скобках-

обобщенные силы. Уравнения Лагранжа для координат имеют вид

(1)

(2)

Уравнения для иимеют вид

= (3)

(4)

Уравнения (1) , (2) и (4)- проекции уравнения на, а уравнение

(3) является их следствием – это проекция закона (для точки – теоремы) об изменении кинетического момента на.

Задавая и, из (1) и (2) можем найти движение точки по палубе, а из уравнений для(или) определим и реакцию S.

Строго говоря, постулирование и) имеет физический смысл только при задании момента, приложенного к даже лишенной массе палубе.

Вернемся к выводу уравнений Лагранжа.

На первый взгляд может показаться, что перечисленных факторов произвольности и независимости скоростей недостаточно, чтобы каждая из скобок в сумме (1) была равна нулю, поскольку внутри скобок имеются те же скорости.

Заметим, что уравнение (7.1) получено на основе первых двух фундаментальных законов, а внутри скобок стоят проекции этих законов на независимые для голономных систем

базисные векторы множества векторов положения материальных точек и тензоров поворота твердых тел, входящих в систему.

Рассмотрим для простоты тело , состоящее из материальных точек. Умножим каждое уравнение скалярно на и просуммируем их:

), (s=1,2…n). (7.3)

Справа в (7.3) стоит обобщенная сила , а левая часть стандартным образом (см. например) преобразуется с использованием тождеств Лагранжа, которые в нашем подходе ввиду отсутствия времени в описании положениясовершенно очевидны:

,

и ввиду изменения порядка дифференцирования.

Имеем =

, (7.4)

что и требовалось показать.

Такой же результат получим и для твердого тела , умножая уравнение второго закона

:

. (7.5)

С помощью тождеств типа Лагранжа для вращательных движений

, (7.6)

(7.5) также приводится (см. приложение) к виду (7.4), где