Глава 7. Механика Лагранжа
7.1.Обобщенные координаты, связи, число степеней свободы.
Обобщенные
координаты-
параметры любой размерности
,
которые
точно (либо с достаточной степенью точности) описывают положение тела.
Обобщенными
скоростями
называются производные
,
Так, положение точки задается тремя координатами, твердого тела – шестью.
Ограничения, налагаемые на положения и скорости точек тела окружающими телами, называются соответственно позиционными (геометрическими) и кинематическими связями.
Связями .называют и сами тела, обеспечивающие ограничения. Аналитические выражения, описывающие ограничения, называют уравнениями связей.
Если уравнения связей содержат только координаты, связи называются голономными; разумеется, голономными являются и интегрируемые кинематические связи.
Неинтегрируемые кинематические связи называются неголономными.
Число
независимых обобщенных координат
(
называется
числом степеней свободы по положению,
а число независимых обобщенных скоростей
– числом степеней свободы по скоростям.
Рассмотрим некоторые простые примеры.
Z
1.
Точка движется по поверхности
Три
обобщенные координаты
,
Y одно уравнение голономной связи(уравнение поверхности)
X
.
Число
степеней свободы
2.
Качение диска.
Две
обобщенные координаты
,
одно
уравнение кинематической связи - условие
отсутствия
проскальзывания
.
Уравнение
связи интегрируется:
,следовательно
связь
голономная и число степеней свободы
.
y 3. Движение конька
Считаем,
что лезвие конька касается льда в одной
точке А
А
и скорость точки касания
направлена вдоль лезвия.
X
Три обобщенные координаты (
),
т.е три степени
свободы по положению; одна кинематическая неинтегрируемая, то есть неголономная
связь - условие отсутствия бокового скольжения :
или
.
Таким образом, конек имеет две степени свободы по скоростям.
y 4. Изгиб стержня с шарнирными опорами.
//////
////// x
Стержень- деформируемое тело с бесконечным числом степеней свободы. Для описания
его
изгиба можно взять в качестве обобщенных
координат коэффициенты
в
представлении
,
которое удовлетворяет краевым условиям
- равенству
нулю прогибов и моментов в шарнирных опорах. Разумеется, этот подход приближенный
и соответствует описанию положения « с достаточной степенью точности».