Глава 6. Третий фундаментальный закон механики (закон баланса энергии).

6.1. Кинетическая энергия материальной точки и твердого тела. Теорема Кенига.

Кинетическая энергия материальной точки ,

тела, состоящего из материальных точек ,C A  (6.1)

континуального тела . (6.2)

Для твердого тела . Подставим это выражение в (6.2):

= .

Второе слагаемое равно , а подынтегральное выражение

в третьем преобразуем, чтобы вынести из интеграла постоянный множитель :

.

Имеем .

Таким образом,

(6.3)

Рассмотрим частные случаи.

а) Тело вращается вокруг неподвижной точки:

(6.4)

б) В качестве полюса взят центр масс:

(6.5)

Формула (6.5) представляет собой частный случай (для твердого тела) теоремы Кенига:

Кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения со скоростью центра масс и энергии относительного движения относительно системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью центра масс (для твердого тела относительное движение - вращение вокруг центра масс).

Для плоского движения и формулы (6.4) , (6.5) примут вид

вращение вокруг неподвижной оси, (6.4а)

(6.5а)

где осевые моменты инерции постоянные величины.

6.2. Мощность, работа. Потенциальные воздействия.

Мощность силы ,

мощность момента

Элементарная работа

Символ означает, что элементарная работа не является в общем случае

дифференциалом функции А ввиду произвольности сил и моментов.

Для силы элементарная работа вычисляется по хорошо знакомой из курса физики

формуле , а вот для момента

известная формула имеет место только для плоского движения, когда,

поэтому определение мощности как работы в единицу времени при произвольном

движении тела становится весьма затруднительным.

Найдем мощность сил и моментов, приложенных к твердому телу.

По определению . Подставиви,

переставив сомножители в смешанном произведении, получим

. (6.6)

Ясно, что мощность (6.6) не зависит от выбора полюса А.

Потенциальные воздействия.

Существует довольно узкий класс сил и моментов, мощность которых равна полной производной по времени от некоторой функции положения :

.

Такие воздействия называются потенциальными, а  - потенциальной энергией (знак (-) принято ставить для удобства).

Если рассматривается сила, то аргументом функции  является вектор положения точки приложения силы, т.е., а если момент, то аргументом являются параметры,задающие ориентацию, например, углы Эйлера, т.е=(.

Для потенциальных сил и моментов элементарная работа является дифференциалом функции :; отсюда следует равносильное определение потенциальных воздействий: для них работа не зависит от пути перехода из первого положения во второе:

;

и, как следствие, работа по замкнутому контуру равна нулю :

Если вектор силы известен, то условия его потенциальности можем получить, приравнивая

,

где оператор Гамильтона( набла-оператор, градиент). Видим, что, т.е.и, поскольку смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования, для потенциальной силы должны выполняться равенствакоторые на языке дифференциальных операций равносильны равенству нулю ротора силы