5.2.9. Динамические реакции оси вращающегося тела. Пример
Пусть
твердое тело вращается вокруг неподвижной
оси Z под действием момента
.
Поскольку нас интересуют только реакции,
возникающие при вращении тела (динамические
реакции) и которые, собственно, и
принуждают тело совершать плоское
движение, прочие воздействия не
рассматриваются.
B
Z
C
A
Уравнения первого и второго законов имеют вид
(5.39)
Найдем проекции (5.39) на оси X,Y,Z, связанные с телом. Имеем
,
,
,
,
(5.40)
Последнее
уравнение – уравнение вращения вокруг
неподвижной оси, третье уравнение
содержит только сумму реакций, но не
позволяет их найти. Первое, второе,
четвертое и пятое уравнение – система,
из которой определяются динамические
реакции
и из нее же, разумеется, можем найти
условия, при которых они равны нулю
Так как движение произвольное, то выполнение этих равенств возможно только когда
-
статическая уравновешенность и
динамическая
уравновешенность,
т.е. динамические реакции равны нулю, если ось вращения является главной центральной.
Пример.
Ось вращения диска составляет с
перпендикуляром к плоскости диска угол
.
Диск
статически уравновешен, т.е. центр масс
лежит на оси вращения:
.
Масса
диска
,
радиус
,
диск совершает 12000
,
расстояние
между
подшипниками
.
A
B
C
Первые
два уравнения системы (5.39) дают
,
а из четвертого
и пятого находим
Центробежные моменты инерции найдем из теоремы Гюйгенса- Штейнера
,
(5.41)
,
где
.
Из (5.40) имеем
,
Таким образом,
,
Для
данных условий задачи и весьма
незначительного угла
получим
,
что значительно превышает статическую
реакцию 5 кГ.