Пример 1. Качение шара по вращающейся плоскости.

𝜴

C



B

По вращающейся с угловой скоростью 𝜴 платформе катится шарик массы и радиуса.

Запишем уравнения динамики (5.36)

С учетом того, что тензор инерции шаровой , уравнения принимают вид

, (1)

, (2)

где горизонтальная составляющая реакции платформы.

Добавим к (1),(2) условие отсутствия проскальзывания в точке касания В:

(3)

Исключим из уравнений все неизвестные, оставив только .

Подставим из первого уравнения во второе, умножим его векторно справа наи,

раскрывая двойное векторное произведение, получим

.

Подставив в это уравнение найденное из третьего уравнения выражение

, получим

или, обозначив

Подобное уравнение уже встречалось в (5.1.2) и решение его проще всего записать с

помощью тензора поворота (напомним формулу Пуассона ):

Таким образом, постоянный по величине вектор скорости «вращается» с постоянной

угловой скоростью вокруг ; нетрудно понять, что это возможно, только если центр

масс движется по окружности, радиус которой можно найти, если проинтегрировать

и подставить начальные условия.

Пример 2. Качение шара по внутренней поверхности вертикального цилиндра.

Чтобы предотвратить проскальзывание, шарик массы m и радиуса катится с достаточно

большой окружной скоростью. Кажется правдоподобным, что траектория будет

иметь вид спирали увеличивающейся крутизны.

Скорость и ускорение центра масс шарика в цилиндрической системе координат

, (). (1)

Уравнения движения

, (2)

, (3)

где лежащая в касательной плоскости в точке касания составляющая реакции.

Условие отсутствия проскальзывания

, (в координатном виде ) (4)

дополним его производной

. (5)

Выразим из (2) , подставим его в (3) и найдем.

Подставляя полученное выражение в (5), с учетом

получим

(6)

Умножая скалярно уравнение (6) на ,получим (проекция наравна нулю):

(7)

(8)

Из (7) следует немедленно , а в (8) величину

найдем через ее же производную: .

Первое слагаемое в силу (3) равно нулю, а второе с учетом (4) равно , так что

(константу можем принять равной нулю). Окончательно получим

, где обозначено

Решение этого уравнения имеет вид постоянные,

определяемые из начальных условий) и показывает, что шарик совершает гармонические

колебания по высоте (!). Игрокам в гольф и баскетболистам не так уж «не везет», когда шарик

( мяч) выкатывается из лунки (из кольца).