5.2.8. Дифференциальные уравнения произвольного движения твердого тела. Замена опорной точки во втором фундаментальном законе.

Уравнения первого и второго законов полностью описывают трансляционное и вращательное движения твердого тела:

. (5.34)

Второму уравнению можно придать более удобный для решения вид.

а) б)

С 

C

В  В

A Рис.5.4

Кинетический момент относительно неподвижной точки А можем выразить через кинетический момент относительно какой – либо подвижной точки В (см. (5.17)):

.

Аналогично .

Подставляя эти выражения во второе уравнение (5.34), получим с учетом

. (5.35)

Уравнение (5.35) проще и удобнее применять.

1. В качестве подвижной точки можем взять не принадлежащую телу точку, например, точку касания поверхности катящегося (или скользящего) тела (рис.5.4а).В этом случае

, поэтому уравнение (5.35) упростится:

,

и, кроме того, в уравнение не войдут неизвестные реакции, поскольку их момент относительно точки В равен нулю.

2. Если в качестве подвижной точки В взять центр масс, уравнение (5.35) примет вид

или, вспоминая (см.5.20), что ,

. (5.36)

Это уравнение полностью описывает вращательное движение и не отличается от уравнения, описывающего вращение вокруг неподвижной точки.

Таким образом, удобной в большинстве случаев системой уравнений, описывающих произвольное движение твердого тела является

(5.37)

Плоское движение.

Если тело совершает плоское движение, то ., гдеединичный вектор,

перпендикулярный плоскости движения.

Первое уравнение в (5.37) проецируется

на оси X и Y в плоскости движения, а

второе скалярным умножением на Y

проецируется на ось Z , проходящей через

центр масс: C Z

.

С учетом имеем X

(5.38)