5.2.6. Вычисление тензоров инерции некоторых тел (шар, цилиндр, конус).

1. Шар.

Центральный тензор инерции – шаровой: .

Складывая моменты инерции, получим

В качестве элемента массы возьмем массу шарового слоя толщиной dr:,

где элементарный объем , а плотность.

. Тогда и окончательно

Рассмотрим частные случаи.

а) Шар:

dr

a R

б) Оболочка:

2. Полый прямой круговой цилиндр .

Z

Найдем сначала

Выделим двумя цилиндрическими поверхностями

радиуса итрубку толщинойи от тройного

интеграла перейдем к одинарному:

Учитывая, что , найдем сумму

.

Разделив цилиндр на пластинки толщинойи массой, найдем

.

Итак, ,

Рассмотрим частные случаи.

а) Сплошной цилиндр ,

б) Оболочка ( ):,

в) Пластинка ():,

г) Стержень (бесконечно тонкий цилиндр) ():,

3.Прямой круговой конус (радиус основания R, высота h, плотность ).

Найдем .

Чтобы не вычислять тройной интеграл по x,y,z в декартовых А Y

координатах ( или по ,

разобьем конус на пластинки толщиной ,

радиуса и моментом инерции X r

, С 

Тогда .

R

Далее найдем сумму

Z

И, вычислив интеграл , получим

.

Моменты инерции относительно центральных осей вычисляются с помощью теоремы Гюйгенса-Штейнера ( AC=):

5.2.7. Дифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси. Физический маятник.

Пусть твердое тело вращается вокруг неподвижной оси Z .

Z

B

A

C

A

Уравнение второго фундаментального закона имеет вид

, или

где точка А - любая точка на оси вращения, .- вектор угловой скорости.

Если нас интересует только угол поворота , достаточно найти одну лишь проекцию на ось Z, для чего умножим скалярно обе части уравнения наи внесем его в производную:

.

По определению, осевой момент инерции, причем постоянный, амомент относительно оси Z. Таким образом, получилидифференциальное уравнение вращения вокруг неподвижной оси:

(5.32)

Если ось подвеса горизонтальна и внешними воздействиями являются сила тяжести и, разумеется, опорные воздействия, с которыми ось подвеса действует на тело, то тело называют физическим маятником. В этом случае уравнение (5.32) принимает вид нелинейного уравнения

,

которое может быть проинтегрировано либо численно, либо в так называемых эллиптических функциях. Уравнение малых колебаний, под которыми будут пониматься движения, описываемые линейными дифференциальными уравнениями, получим, положив :

, (5.33)

где обозначение квадрат собственной частоты.

Решение уравнения (5.33) имеет вид

где константы определяются из начальных условий.

Ясно, что измеряя собственную частоту ( или период), можно экспериментальнонайти момент инерции.