Пример 2. Отклонение снарядов (битва у Фолклендских островов).

В декабре 1914 г. произошло сражение между английской и немецкой эскадрами у

Фолклендских островов(южной широты).

По свидетельству английского морского офицера немецкие корабли обстреливались с максимальной дистанции (порядка 15 км), причем снаряды ложились левее цели примерно на сотню ярдов (примерно 90 м),хотя были пристреляны еще в Англии (примерно на северной широты).

Рассмотрим полет снаряда на широте .

Z

z

y

x

Рис 5.2

Уравнение динамики относительного движения

,

где – скорость снаряда относительно Земли,- считающаяся постоянной в

в рассматриваемой области сила тяжести, - аэродинамическая сила.

Для простоты положим тогда уравнение примет вид

. (5.11)

Это линейное дифференциальное уравнение может решено точно, мы построим здесь приближенное методом последовательных приближений.

Нулевое приближение получим, положив

, (5.12)

Первое приближение получим, подставив (5.12) в правую часть (5.11):

. (5.13)

Если ограничиться линейными членами относительно малой величины (, то этого приближения достаточно.

Сумма - это движение тела без учета вращения Земли, слагаемое ( -объясняет отклонение падающих тел к востоку (в северном и южном полушариях); наконец, слагаемое ( -описывает отклонение снаряда вправо от направления стрельбы в северном полушарии и влево в южном. Чтобы оценить это отклонение, будем считать для простоты траекторию настильной, т.е.

Проинтегрируем это слагаемое и найдем проекцию вектора положения на направление оси

(вправо от направления стрельбы):

.

В южном полушарии знак отрицательный, т.к. , и снаряд отклоняется влево, поэтому при стрельбе в южном полушарии из орудия, пристрелянного в северном, отклонение удваивается.

Точное решение уравнения (5.11) в учебниках отсутствует; возможно, причина в громоздкости, если решать его в координатном виде. В векторном виде решение гораздо

проще.

Решение неоднородного уравнения

равно сумме решений однородного уравнения и частного решения.

Вспомнив формулу Пуассона (4.22) , решение однородного уравнения немедленно запишем в виде, где- произвольный постоянный вектор. Частное решение найдем методом вариации произвольных постоянных

Подставив это выражение в уравнение, будем иметь

,

откуда (положилии, следовательно,.

. Записывая и вспоминая представление Эйлера для тензора поворота

+(), получим точное решение

.

Разлагая тригонометрические функции в ряды и, удерживая члены с первой степенью ,

получим приближенное решение (5.13).