4.2.4. Описание положения твердого тела с помощью тензора поворота. Теорема Эйлера о тензоре поворота.

Положение тела описывается вектором положения какой-либо точки А и ориентацией посредством тензора поворота , переводящим жестко связанную с телом тройку векторов из отсчетного положения в актуальное:(рис.4.8)

z В

В

В

А

А y

x Рис.4.8

Раскладывая по отсчетному базису, будем иметь

, где называются

направляющими косинусами.

Теорема Эйлера. Произвольная ориентация твердого тела получается из отсчетной однимповоротом на угол вокруг оси поворота.

В математическом виде теорема сводится к следующей теореме:

Теорема о представлении тензора поворота.

Тензор поворота , не равный, единственным образом можно представить в виде

+( )(4.18)

Где -угол поворота, а единичный векторзадает прямую в пространстве, называемую осью поворота; положительное направление отсчета угла поворотасогласовано с направлениемв соответствии с принятой ориентацией пространства, т.е. в правоориентированном пространстве положительный поворот с концавиден против часовой стрелки (рис. 4.7).

Доказательство.

Покажем, что существует единственный неподвижный вектор , т.е. уравнение

имеет единственное решение. Перепишем его в виде однородного уравнения , которое имеет решение, только если определитель равен нулю, что и следует из цепочки

Предполагая, что существуют два решения =и=, получим с помощью

тождества #2 (1.13) , что итакже является неподвижным вектором, что невозможно () .

Положим .

Подставляя эти выражения в тензор и, заменяя комбинации,

содержащие на независящие от их выбора выражения, придем к (4.18):+().

Можно доказать [3] , что тензор поворота аналитически выражается через произведение , называемым вектором поворота, поэтому в дальнейшем тензор поворота будем в необходимых случаях обозначать.

Представление (4.18) позволяет доказать весьма важную теорему:

Теорема. Если неподвижный вектор тензора), определяющий ось поворота, сам

получен поворотом , то. (4.19)

Иными словами: « тензор поворота с повернутой осью равен повернутому тензору»

Доказательство. Подставляя в (4.18) , получим

, , и, полагая в тождестве #4 (1.16)

= .Таким образом,

+( )+().