Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный авиационный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

0887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

4 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаки порівняння.

∞n

7.n∑=1 n3 + 4.

Розв’язання. Загальний член ряду є відношенням многочленів першого і третього степенів, степінь знаменника на 2 більший від степеня чисельника.

∞

Отже, для порівняння вибираємо узагальнений гармонічний ряд ∑

n=1 n2

∞

Оскільки

і ряд

∑

збіжний, то за ознакою порівняння

n3 + 4 n3

n=1 n2

(теорема 2) заданий ряд збіжний.

∞

8. ∑

n=2 ln n

Розв’язання. Покажемо, що ряд розбігається. Справді, з нерівності

ln n < n випливає нерівність

( n = 2, 3, …). Оскільки члени задано-

ln n

∞

го ряду більші від відповідних членів розбіжного гармонічного ряду ∑

то ряд розбіжний.

n=1 n

∞

9. ∑

2n + 4

n=1 4

∞

Розв’язання. Оскільки ряд ∑

розбіжний ( p =

< 1 ) і

4 n

n=1

k = lim

4 2n + 4

= lim

4 n

( 0 < k < ∞ ),

4 2n + 4

n→∞

4 2

4 n

то заграничноюознакоюпорівняння(теорема3) вихіднийрядтакожрозбіжний.

Зауваження.

1. При оцінюванні загального члена un = ba , поданого у вигляді до-

датного дробу, причому a > 0, b > 0 , часто використовують такі мі-

ркування: дріб збільшиться, якщо збільшити його чисельник або зменшити знаменник, не змінюючи його знака, і зменшиться, якщо збільшити його знаменник або зменшити чисельник.

2. Ряд,

загальний член якого un

Pm (n)

, є відношенням многочленів

Qk (n)

степенів m і k

відповідно,

збіжний,

якщо k − m > 1 . У цьому випадку ви-

∞

хідний ряд збігається або розбігається разом з рядом ∑

k −m

n=1 n

∞

cos

10. ∑

n=1 n(

n + 5)

Розв’язання. Загальний член даного ряду задовольняє нерівність

un =

cos2 n

≤

n + 5)

n1,5

n + 5)

∞

Ряд ∑

збіжний ( p = 1, 5 > 1 ), тому заданий ряд також збіжний.

1,5

n=1 n

∞

11. ∑ arcsin

2n +

n=1

∞ 1

Розв’язання. Порівняємо ряд із розбіжним гармонічним рядом n∑=1 n .

Враховуючиеквівалентність arcsin x ~ х, коли x → 0 , обчислюємограницю

arcsin

k = lim

2n + 1

= lim

2n + 1

n→∞

Отже, за граничною ознакою порівняння заданий ряд розбіжний.

Дослідітьназбіжністьряди, користуючисьознакамиД’АламбераабоКоші.

∞	(n + 1)		3	n
12. ∑				3	.
	(			)
n=1
		2n + 1 !

Розв’язання. Наявність факторіала зазвичай указує на доцільність застосування ознаки Д’Аламбера. Маємо

un =

(n + 1)3 3n

, un+1 =

(n + 2)3 3n+1

;

(2n + 1)!

(2(n + 1) + 1)!

l = lim

un+1

= lim

(n + 2)3 3n+1

(2n + 1)!

(2n + 3)!

(n + 1)3

n→∞

un n→∞

n + 2		3	(2n + 1)!	= 3 lim 1	1
= 3 lim						= 0	< 1 .
	n + 1		(2n + 2)(2n + 3)(2n + 1)!		(2n + 2)(2n + 3)
n→∞				n→∞

Отже, ряд збіжний.

∞nn

13.n∑=1 en n! .

Розв’язання. Застосуємо спочатку ознаку Д’Аламбера:

, un+1

(n + 1)n+1

;

en n!

en+1 (n + 1)!

n+1

(n + 1)n+1

en n!

(n + 1)n+1

l = lim

= lim

lim

(n + 1)!

n→∞

n→∞ en+1 (n + 1)!

e n→∞

(n + 1)n (n + 1)

lim

n + 1

lim 1

lim

= 1.

n!(n +

e n→∞

e n→∞ n

e n→∞

Отже, питання про збіжність ряду залишається відкритим. Застосування ознаки Коші також нічого не дає. Результат дає використання формули Стірлінга

n!~

2πn ,

n → ∞,

, n

→ ∞ . Виходить, що зада-

звідки дістаємо еквівалентність

en n!

2πn

∞

ний ряд поводить себе так само,

як і ряд ∑

, який є розбіжним

n=1

2πn

( p =

< 1 ). Отже, заданий ряд також розбіжний.

∞1 n n + 1 n2

14.n∑=1 2 n .

Розв’язання. Цей ряд зручно досліджувати за радикальною ознакою Коші. Маємо

l = lim

1 n n + 1 n2

n + 1 n

1 n

= lim

lim 1

> 1

n→∞

n→∞ 2

2 n→∞

отже, ряд розбіжний.

∞		1
15. ∑			.

n=1	2	n

Розв’язання. За радикальною ознакою Коші дістанемо

	1			1	n
l = lim					n
	n		= lim
		2 n
n→∞			n→∞	2


		1				0
	1				1
			n
= lim				=			= 1 .
	2				2
n→∞

Якщо скористатися ознакою Д’Аламбера, досягнемо такого самого результату.

Доведемо збіжність ряду, використовуючи ознаку порівняння. Для по-

∞

рівняння візьмемо збіжний ряд ∑

. Знайдемо спочатку границю

n=1 n

x = t,

4t3

12t2

lim

= lim

x→∞ 2 x

t → ∞

t→∞ 2t

t→∞ 2t ln 2

t→∞ 2t (ln 2)2

= lim

24t

= lim

= 0.

t→∞ 2t (ln 2)3

t→∞ 2t (ln 2)4

Звідси випливає, що починаючи з деякого номера

виконується не-

∞

рівність 2 n

> n2 ,

або

( n ≥ N0 ). Отже,

∑

< ∑

і,

2 n

n= N0

оскільки відкидання скінченної кількості членів ряду не впливає на його збіжність, доходимо висновку про збіжність початкового ряду.

∞1

16.n∑=1 (n + 2) ln(n + 2) .

Розв’язання. Функція	f (x) =	1	задовольняє умови інтег-
		(x + 2) ln(x + 2)

ральної ознаки, тому задача зводиться до дослідження збіжності невласного інтеграла

∞	dx		A	d (ln(x + 2))		ln (x + 2)	A

∫		= lim	∫		= lim ln		=

	(x + 2) ln(x + 2)			ln(x + 2)
1		A→∞	1		A→∞		1

= lim (ln ln ( A + 2) − ln ln 3) = ∞ .

A→∞

Невласний інтеграл розбіжний, отже заданий ряд також розбіжний.

Зауваження. Переконайтесь самостійно, що дослідження ряду за допомогою ознаки Д’Аламбера результату не дає (l = 1).

∞n

17.n∑=1 (2n2 + 1) ln2 (n + 1) .

Розв’язання. При n → ∞ справджуються еквівалентності

n	~	1	, ln(n + 1) ~ ln n ,
(2n2 + 1)		2n

тому згідно з граничною ознакою порівняння заданий ряд збігається або

∞

розбігається разом із рядом

∑

. Застосуємо до останнього ряду ін-

2n ln2 n

тегральну ознаку Коші:

n=2

∞

A d

(ln x)

−1

∫

= lim

∫

lim

−

x ln

ln A

ln 2

A→∞

2 ln

A→∞ ln x

A→∞

Невласний інтеграл збіжний, отже, вихідний ряд також збіжний.

∞

Зауваження. Ряд ∑

збіжний, якщо

p > 1 , і розбіжний, якщо

p ≤ 1.

n=2 n ln p n

Доведіть це самостійно

Дослідіть на абсолютну й умовну збіжність знакозмінні ряди.

∞	(−1)n	2n + 1	n
18. ∑		2n + 1	.
18. ∑			.
n=1	3n + 1
Розв’язання. Розглянемо ряд				2n + 1 n
			∞	2n + 1 n
			∑		,
			∑		,
			n=1	3n + 1

складений з модулів членів заданого ряду, і застосуємо до цього ряду радикальну ознаку Коші. Дістанемо

lim		2n + 1 n	= lim	2n + 1	=	2	< 1.
	n
		3n + 1				3
n→∞			n→∞ 3n + 1

Отже, ряд з модулів членів заданого ряду збіжний, тому за теоремою 8 заданий ряд збігається, причому абсолютно.

Зауваження.

1. Дослідження альтерновного ряду на абсолютну й умовну збіжність можна проводити у такому порядку: спочатку досліджують ряд,

складений із модулів членів заданого ряду. Якщо він розбіжний, то далі переходять до перевірки виконання умов теореми Лейбніца. Або ж спочатку застосовують теорему Лейбніца, після чого у разі збіжності альтерновного ряду досліджують ряд, складений із модулів членів вихідного ряду. На практиці рекомендуємо дотримуватися першого способу.

2. Якщо при дослідженні знакозмінного ряду дістають lim n | un| = ∞

n→∞

або

lim

un+1

= ∞ , то

lim un

≠ 0 і знакозмінний ряд є розбіжним.

n→∞

19. 1−

− ... +

(

−1

n−1

+ ...

7 13

)

6n − 5

Розв’язання. Оскільки

lim

≠ 0 , то заданий ряд розбігається.

6n −

n→∞

∞

(−1)n

n + 2

20. ∑

n=1

Розв’язання. Розглянемо ряд

∞ n + 2

∑ 3n ,

n=1

складений із модулів членів заданого ряду, і застосуємо до цього ряду ознаку Д’Аламбера. Дістанемо

lim

un+1

= lim

n + 3

lim

n + 3

< 1 .

n + 2

n→∞

n→∞ 3n+1

3 n→∞ n + 2

Отже, ряд із модулів членів збігається, тому збігається і початковий ряд, причому збіжність є абсолютною.

∞	(−1)n+1	1
21. ∑			.

n=1		n

Розв’язання. Ряд

∑∞ 1 ,

n=1 n

складений із модулів членів заданого ряду, розбіжний, оскільки він є уза-

гальненим гармонічним рядом з p = 12 < 1 .

Перевіримо тепер виконання умов теореми Лейбніца: 1) 1 > 1 > 1 > …> 1 > …;

	2	3	n
2) lim	1	= 0.
n→∞	n

Отже, заданий ряд умовно збіжний.

∞	(−1)	n+1
22. ∑ n sin	(−1)		.
n=1	2n
Розв’язання. Оскільки sin x					— непарна функція, то ряд можна запи-
	∞			1	∞	1
сати у вигляді	∑ (	−1)n+1 n sin		1	. Дослідимо на збіжність ряд ∑ n sin	1	,
сати у вигляді	∑ (	−1)n+1 n sin		2n	. Дослідимо на збіжність ряд ∑ n sin	2n	,
	n=1			2n	n=1	2n

складений із модулів його членів. Застосовуючи ознаку Д’Аламбера і вра-

ховуючи еквівалентність sin x ~ x ,

x → 0 , дістанемо:

un+1

(n + 1) sin

(n + 1)

l = lim

= lim

2n+1

= lim

2n+1

= lim

n + 1

< 1.

n→∞

n→∞ 2n

n sin

Отже, ряд із модулів членів збігається, тому початковий ряд є абсо-

лютно збіжним.

∞

ln 1+

23. ∑ sin n

n=1

ln 1+

Розв’язання.

Ряд є знакозмінним. Оскільки

за умови

∞

n → ∞ , то ряд веде себе так само, як і знакозмінний ряд ∑

sin n

. Оскільки

n=1 n

для будь-якого

натурального

n виконується

нерівність

| sin n |

≤

, то

∞

| sin n |

∑

≤∑

Враховуючи,

що еталонний

ряд

∑

збіжний

n=1

n=1 n

∞	sin n
( p = 3 > 1 ), доходимо висновку про те, що вихідний ряд, як і ряд ∑		,
	3
n=1	n

абсолютно збіжний.

∞

cos πn

24. Обчисліть наближено суму ряду ∑

з точністю ε = 0, 001.

n=1

Розв’язання. Оскільки cos πn = (−1)n , то маємо ряд

∞

(−1)n

∑

= −

−

− …+

+ …,

4n n!

n=1

2! 43

3! 44

4n n!

члени якого строго чергуються. Згідно з наслідком із теореми Лейбніца абсолютна похибка від заміни суми збіжного ряду (1.7) його частинною сумою не перевищує модуля першого з відкинутих членів ряду, тобто

rn = S − Sn ≤ un+1 .

Знайдемо найменше n , починаючи з якого виконується нерівність un+1 < ε,

тоді і

< ε :

> ε,

< ε.

42 2!

43 3!

64 6

256 24

Отже,

< u4 < ε ,

тому для досягнення вказаної точності достатньо

взяти суму перших трьох членів ряду:

S ≈ −

−

= −0, 25 + 0, 0312 − 0, 0026 ≈ −0, 221.

384

Т.1 ВПРАВИ ДЛЯ АУДИТОРНОЇ І САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

Доведіть за означенням збіжність рядів і знайдіть їхню суму.

∞

2n + 3n

∞

1. ∑

. 2. ∑

. 3. ∑

. 4. ∑ ln 1

−

(2n − 1)(2n + 1)

n=1

n=1 n!(n + 2)

n=1

Доведіть розбіжність рядів, використовуючи достатню ознаку розбіжності ряду.

∞

n + 2

∞

n − 2

∑

(n + 1) sin

∑

7. ∑

n 1

n2 + 1

n 1

+ 2n + 5

n 1

n + 3

∞

πn

∑

∑ cos

10. ∑ sin

n=2 ln n

n=1

6n + 5

Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаки порівняння.

∞

2n + 1

∞

n2 + n + 1

∞

11.

∑

12.

∑

13. ∑

−1

+ 3

n=1

n=1 n2 + 1

∞

14.

∑

15.

∑

16. ∑ tg

3n +

n=1

3n + 2

n=1 ln(n + 4)

n=1

∞

17.

∑ ( n + 1 −

n).

18.

∑ 1− cos

19. ∑

+ 4

n 1

+ 5

∞

+ 2

∞

− 1

∞

20.

∑

21.

∑

22. ∑ n ln 1+

n=1

3 n5 + 1

n=1

Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи ознаку Д’Аламбера.

∞

1 3 5 …(2n −1)

23.

∑

n arctg

24.

∑

25. ∑

(n + 2)!

2 5 8 …(3n − 1)

n=1

∞

(2n + 1)!

∞

4n + 1

∞

(n!)

26.

∑

27.

∑

28. ∑ 2n sin

29. ∑

n 1 n3 7n+1

n 1

(2n)!

Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи радикальну ознаку Коші.

	∞	2n + 1		n
30.	∑			.
30.	∑			.
	n 1	5n + 3
	=
	∞		n		n
33.	∑ arccos					.
33.	∑ arccos				2n + 1	.
	n 1				2n + 1
	=

	∞		n + 1		2n+3
31.	∑					.
31.	∑		3n + 2			.
	n 1		3n + 2
	=
	∞	n2 + 1
34.	∑			.
34.	∑		2n	.
	n=1		2n

32. ∞

∑

n=1

∞

35. ∑

n=1


1	n n + 2 n2					.
9				n

	n + 1				n
				.
2n		2	+ 1

Дослідіть на збіжність ряди, використовуючи інтегральну ознаку Коші.

	∞			1			∞	1				∞	ln n
36.	∑				.	37.	∑				.	38. ∑			.
36.	∑		2	+ 4	.	37.	∑	+ ln	2		.	38. ∑	n	2	.
	n=1 n			+ 4			n=2 n(1	+ ln		n)		n=1	n
	∞				1		∞	1
39.	∑					. 40.	∑					.
39.	∑	(2n + 1) ln(2n + 1)				. 40.	∑					.
	n=2	(2n + 1) ln(2n + 1)					n=2 n ln n ln ln n

Дослідіть на абсолютну та умовну збіжність знакозмінні ряди.

∞	cos πn		∞		n
41. ∑		.	42. ∑ (−1)n+1			.
	n + 1			n2
n=1			n=1		+ n + 1

∞

2n + 9

∞

+ n

43.

∑

(−1)n+1

44.

∑

(−1)n+1

n=1

11n − 3

n=1

4n + 1

∞

(−1)n

∞

(−1)n

45.

∑

46.

∑

2n tg

n=2 n ln n

n=1

∞

(−1)n

∞

(−3)n

48.

∑

49.

∑

n=2 n ln3 n

n=1

∞	(−1)n
47. ∑	(−1)n
n 1
=

∞sin 2n

50.∑ n .

n=1 2

2n + 3 n .

3n + 2

Обчисліть наближено суму рядів з точністю ε , вказавши найменшу достатню кількість членів ряду.

∞

(−1)n+1

∞

n+1

51. ∑

, ε = 0,001.

52. ∑

−

, ε = 0, 001.

n 1

Відповіді

1. Sn =

−

, S =

. 2. Sn =

−

S =

. 3. Sn = 1 −

, S = 1.

4n + 2

2 3n

(n +

2)!

Вказівка. un =

n + 1

−

. 4.

Sn = ln

n + 1

, S = − ln 2.

11. Розбі-

n!(n + 2)

(n + 2)!

(n + 1)!

+ 2)!

гається. 12. Збігається. 13. Розбігається. 14. Збігається. 15. Розбігається. 16. Розбігається. 17. Розбігається. 18. Збігається. 19. Збігається. 20. Збігається. 21. Збігається. 22. Розбігається. 23. Збігається. 24. Збігається. 25. Збігається. 26. Розбігається. 27. Збігається. 28. Збігається. 29. Збігається. 30. Збігається. 31. Збігається. 32. Збігається. 33. Розбігається. 34. Збігається. 35. Збігається. 36. Збігається. 37. Збігається. 38. Збігається. 39. Розбігається. 40. Розбігається. 41. Збіжний умовно. 42. Збіжний умовно. 43. Розбіжний. 44. Збіжний абсолютно. 45. Збіжний умовно. 46. Збіжний абсолютно. 47. Збіжний абсолютно. 48. Збіжний абсолютно. 49. Збіжний абсолютно. 50. Збіжний абсолютно. 51. S ≈ 0,944, n = 3 . 52. S ≈ 0,134, n = 3 .

Т.1 ІНДИВІДУАЛЬНІ ТЕСТОВІ ЗАВДАННЯ

1.1. Доведіть за означенням збіжність рядів і знайдіть їхню суму.

∞

3n + 4n

∞

1.1.1. ∑

1.1.2. ∑

n=1 12n

n=1 n(n +

∞

5n − 3n

1.1.3. ∑

1.1.4. ∑

(2n + 1)(2n + 3)

15n

n=1

∞

5n − 2n

1.1.5. ∑

1.1.6. ∑

(n + 2)(n + 4)

10n

n=1

<<< < Предыдущая 1 23 / 453 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
01.07.20251 Мб406_ РМ_КЛ.doc
#
01.04.20251 Мб1507 Лц Нагруз на крыло.DOC
#
01.07.2025182 Кб007_БДСГ_МР_ДЗ (1).docx
#
01.07.2025122 Кб308_ММ_МР_КрЗ.doc
#
19.02.20162 Мб310887578_645D9_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
19.02.20164 Мб740887579_C36AB_denisyuk_v_p_repeta_v_k_gaeva_k_a_kleshnya_n_o_visha_matemat.pdf
#
01.04.2025905 Кб909 Лц Норм и кас напряж.doc
#
01.07.2025342 Кб109_УП_МР_КР.doc
#
01.05.2025505 Кб11 (2).rtf
#
19.09.2019106 Кб41 000 000 $.doc
#
16.11.20191 Мб51 Lab (Neuro).docx