Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ставропольский государственный педагогический институт

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Часть2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.02.2016

Размер:

503.32 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Координат-

ный способ

x = x(t) уравнения y = y(t) движения

z= z(t) точки M

вкоординат- ной форме.

Уравнения

движения

Траектория

точки

позволяют определить

проекции

на оси,

это линия,

которую

затем величину и на-

описывает

точка

правление.

при движении.

; Vy

;

Уравнение

линии

получим,

исключив

; модуль:

параметр t

из урав-

нений

движения;

V = Vx2 + Vy2 + Vz2 ;

или

строим линию

по точкам, подстав-

cos(

) =

;

ляя

значения t

, i

уравнения

движе-

ния.

cos(V , j) =

) =

cos(V , k

Проекции a на координатные оси:

ax =

d 2 x

; ay =

dVy

d 2 y

;

dt 2

az =

d 2 z

;

модуль:

dt 2

a =

ax2 + ay2 + az2

;

cos(a , i )

; cos(a , j) =

;

cos(a , k ) = aaz .

Естествен-

Траектория

Естественные оси: начало осей в

ный способ

известна.

том месте, где находится движу-

щаяся точка М. Ось τ направлена

по касательной к траектории. Ось n

- главная нормаль - к оси τ ,

Траектория известна

расположена

в соприкасающейся

заранее

считается

V =

если V > 0,

плоскости; направлена в сторону

криволинейной

;

то

вогнутости траектории. Ось b - би-

осью s. На траекто-

точка

движется

нормаль -

к плоскости (τ, n).

рии указано начало

сторону

положитель-

отсчета

коорди-

ных значений s ; если

наты s (ноль 0), на-

V < 0, - точка движет-

правление

отсчета s

ся в сторону отрица-

(+, -);

тельных

значений

s = s(t)

уравнение

вектор

направлен

(закон)

движения

по касательной

точки по траектории.

траектории

в данной

Проекции a на естественные оси:

точке.

d 2 s

V 2

aτ =

; an

; ab = 0;

dt 2

при

aτ > 0

вектор

направлен в

сторону положительных значений s;

ρ - радиус кривизны траектории в

точке М.

Если знаки aτ и V

совпадают, то движение точки

ускоренное, в противном случае -

замедленное.

τ ; a =

an2 + aτ2

Пример К1a. Уравнения движения точки в плоскости заданы

координатным способом и имеют вид:
x = 4 sin πt		,		(1)
2
y = 6cos	πt		,	(2)

2
где время t задано в секундах, координаты x, y – в метрах.
Найти: уравнение траектории точки; положение точки на траектории при

t = t0 = 0 (начальное положение) и при t = t1 = 1 3 c; скорость V				точки;

ускорение a точки; касательное aτ , нормальное an ускорения точки и радиус кривизны траектории ρ при t = t1 = 13 c. В каждом пункте выполнить соответствующие построения на рисунке.

Решение. 1. Найдем уравнение траектории, исключив из (1) и (2) параметр t – время. Способ исключения t зависит от вида функций в правых частях (1), (2). В данном случае найдем из (1), (2) соответственно

sin	πt	=	x	,	cos	πt	=	y	.
	2					2		6
		4

Возводя полученные соотношения в квадрат, после этого складывая их и

учитывая, что sin2 a + cos2 a = 1, найдем:
	x2	+	y2	= 1.
42			62

Из этого уравнения следует, что траекторией точки является эллипс, полуоси которого равны 4 м и 6 м, а центр имеет координаты (0, 0).

Выберем масштаб координат и выполним рисунок. Следует заметить, что приведенный рисунок (Рис. К1а) имеет вид, соответствующий уже окончанию решения; свой рисунок рекомендуется делать по мере продвижения решения.

Это позволяет контролировать получаемые результаты и делает их более

наглядными.		= t0 , подставляя это значение t в (1) и (2):
2. Находим положение точки при t
t = t0 = 0	Þ		ì x = x	0 = 0,
			í	= 6 м.
			îy = y0
3. Находим положение точки при t		= t1, подставляя это значение t в (1) и (2):
t = t1 = 1 3 c Þ	ì		x = x1 = 2 м,
	í	y = y = 3
				3 м » 5,20 м.
	î
			1

Указываем на рисунке точки M0 и M1 , учитывая масштаб координат.

4. Найдем скорость точки. Из теории следует, что при координатном способе задания движения определяются сначала проекции скорости на оси координат. Используя (1) и (2) – уравнения движения точки – находим

Vx =

d æ

2pcos

(3)

ç4sin

÷ =

dt è

πt .

= dy

= -3psin

(4)

Модуль скорости V =

Vx2 +Vy2 . Подставляя сюда (3), (4), получим

V =

4p2 cos

2 pt + 9p

2 sin2 pt

= p

4 + 5sin

2 pt .

(5)

При t = t

= 1 3 с : V

= π

3 м/c ≈ 5,44 м/c ,

= - 3π

м/c » -4,71м/c ,

V1 = π

21 2 м/c ≈ 7,20 м/c .

(6)

Выберем масштаб для скоростей (рис. К1а), проведем в точке M1 линии

параллельные осям x и y, и на этих линиях в масштабе скоростей отложим

отрезки: 5,44 по оси x

и - 4,71 по оси y, что соответствует величинам и знакам

найденных проекций вектора скорости. На этих составляющих строим

параллелограмм (прямоугольник), диагональ которого по величине и

направлению

соответствует

вектору

V 1.

Проверьте

следующее:

длина

построенного

вектора

должна

получиться

равной

найденному

значению

V = p

21 м/c » 7,20 м/c (с учетом масштаба скоростей). Вектор V 1

направлен

по касательной к траектории в точке M1

и показывает направление движения

точки по траектории.

В точке

именно сейчас

M 0

M 1

построим естественные оси:

касательную

τ1

и главную

a1x

нормаль

(эти

оси

потребуются позже). Каса-

V1y

тельную τ1 проводим вдоль

V 1;

главную

нормаль

1 проводим перпендикулярно

τ1 в плоскости рисунка и

a1n

направляем

центру

кривизны

траектории

a1y

точке

(в

сторону

вогнутости траектории).

Масштаб длины: _____ =1м, скорости ___ =1м/с, ускорения: __ =1м/с2

Рис. К1а.

5. Находим ускорение точки, используя (3), (4):

d 2 x

dVx

= -p

sin

(7)

dt 2

ay =

d 2 y

dVy

= -

cos

(8)

dt 2

Модуль ускорения a =

ax2 + ay2

. Из (7), (8) получим

9p4

2 pt

a =

sin

4 +

5cos

2 pt

(9)

cos

Подставляя в (7) - (9) t = t1 = 1 3 c, найдем

= - p2 м/с2

= - 3

» -4,93 м/c2

, a

м/с2

» -12,8 м/c2 ,

= p2

м/с2 » 13,7

м/c2 .

(10)

В точке M1

a1x , a1y , учитывая их

строим в масштабе проекции ускорений

величины и знаки, а затем строим вектор ускорения

Построив

1, следует

проверить, получилось

ли на

рисунке

a ≈ 13,7 м/c2

учетом

масштаба

ускорений), и направлен ли вектор a1 в сторону вогнутости траектории (вектор a1 проходит через центр эллипса, но это есть особенность данной задачи, связанная с конкретным видом функций (1) и (2)).

6. Находим касательное ускорение aτ , характеризующее изменение

модуля

d æ

5p2 sin pt

2 pt

Учитывая (5), получим aτ =

4 + 5sin

çp

dt è

4 +

5sin

2 pt

При t = t1 = 1 3 c

м/c2 » 4,66 м/с2 .

(11)

1τ

Касательное ускорение можно также найти, дифференцируя по времени

равенство V 2 = Vx2 +Vy2 . Получим

= 2Vx

+ 2Vy

dVy

, откуда следует

aτ

Vx ax + Vy ay

Нормальную составляющую an ускорения, характеризующую изменение

направления

, можно найти по формуле

an = V 2 ρ ,

(12)

если ρ	- радиус кривизны траектории заранее известен,			или (учитывая, что,
aτ an	и, следовательно, a 2 = an2 + aτ2 ) по формуле
	an =	a 2 − aτ2	.	(13)

Так как в данной задаче радиус ρ заранее неизвестен, то используем (13). Подставляя (10), (11) в (13), получим

a	= 6π2	21	м/c2	≈ 12,92 м/c2 .	(14)
1n
Вернемся к рис. К1а. Ранее на этом рисунке вектор a1					был построен по
составляющим a1x , a1y . С другой стороны,				этот вектор можно разложить на

составляющие по естественным осям τ1 и n1 (пользуясь правилом

параллелограмма). Выполним это разложение и построим на рисунке векторы a1τ и a1n . Далее следует провести проверку: с учетом масштаба ускорений

определить по рисунку величины

a1τ ,

a1n и убедиться,

что они совпадают с

(11), (14).

Заметим, что движение точки ускоренное, т.к. направления векторов V1 и

a1τ совпадают (рис. К1а).

Найдем радиус

кривизны

ρ ,

используя (12),

откуда

следует, что

ρ = V 2 a

. Подставляя в последнее соотношение V

и a

из (6) и (14), получим

радиус кривизны траектории в точке

M1 : ρ1 = 7

8 м ≈ 4 м .

Отложим на

рисунке от точки M1

по оси n1 отрезок M1C1 длины ρ1 (в масштабе длин);

полученная точка С1 есть центр кривизны траектории в точке M1 .

Объединяя полученные результаты, запишем

Ответ:

1. траектория точки - эллипс, имеющий уравнение

= 1;

2.M0 (x0 = 0, y0 = 6 м);

3.M1(x1 = 2 м, y1 = 33 м ≈ 5,20 м);

4. V =

м/c ≈ 7,20 м/c ;

π2

5. a

м/с2 ≈ 13,7 м/c2 ;

6. a

5π

м/c2 ≈ 4,66 м/с2 ; a

π2

м/c2 ≈ 12,92 м/c2 ;

1τ

ρ1 =

м ≈ 4 м .

Обсудим некоторые особенности и частные случаи, которые могут встретиться в задачах.

Если траектория точки	– прямая	линия, то	ρ = ∞ и, следовательно,
an = V 2 ρ = 0. Найденное по	величине	и направлению ускорение		a	равно
ускорению aτ .			ρ = R , где R
Если траектория точки – окружность, то				–	радиус
окружности (определяется из уравнения траектории). Если скорость V точки
найдена, то an = V 2 ρ = V 2 R . Вектор		an направлен к центру окружности.

Касательное ускорение aτ = dV dt , полное ускорение a = an2 + aτ2 .

Пример К1б.		Точка движется по дуге окружности радиуса R = 2м по
æ p	ö
закону s = 2sin ç	t ÷ (s – в метрах, t – в секундах), где s = AM (рис. К1б).
è 4	ø

Определить: скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 1с; характер движения точки по траектории (ускоренное или замедленное).

Решение. Определяем скорость точки:

	ds		p	æ p		ö
V =		=		cos ç		t ÷ .
	dt		2		4
				è		ø

При t1 = 1с получим V1 = π24 =1,11м/с.

Ускорение находим по его касательной и нормальной составляющим:

æ p

aτ =

= -

sin ç

t ÷ ,

è 4

V 2

При t1 = 1с получим, учитывая, что R = 2м,

V	M	a τ
1		1
a1n		a1

Рис. К1б

= − π2

16 = −0,87 м/c2 ,

=V 2 2 = π2 16 = 0,62 м/с2 .

1τ

Тогда ускорение точки при t1

= 1с будет

+ a2 = p2

16 =1,07 м/с2 .

1τ

, a1n , a1τ , a1 , считая положительным

Изобразим на рис. К1б векторы V1

направление от A к M. Так как V1 > 0 ,

a1τ

< 0, то движение точки замедленное.

Ответ: V1 = π24 =1,11м/с; a1τ = − π2 216 = −0,87 м/c2 ; a1n = π2 16 = 0,62 м/с2 ; движение точки замедленное.

Примечание: одна из частей задачи К3 (см. ниже) аналогична задаче К1б.

Задача К2 (тема: “Простые движения твердых тел”)

Механизм состоит из ступенчатых колес 1-3, находящихся в зацеплении или связанных ременной передачей, зубчатой рейки 4 и груза 5, привязанного к концу нити, намотанной на одно из колес (рис. К2.0-К2.9, табл. К2). Радиусы ступеней колес равны соответственно: у колеса 1 – r1 = 2 см, R1 = 4 см, у колеса

2 – r2 = 6 см, R2 = 8 см, у колеса 3 – r3 =12 см, R3 = 16 см. На ободах колес расположены (в произвольном месте обода) точки А, В и С.

В столбце «Дано» таблицы указан закон движения или закон изменения скорости ведущего звена механизма, где ϕ1(t) – закон вращения колеса 1, s4 (t)

– закон движения рейки 4, ω2 (t) – закон изменения угловой скорости колеса 2, V5 (t) – закон изменения скорости груза 5 и т. д. (ϕ выражено в радианах, s – в

сантиметрах, t – в секундах). Положительное направление для ϕ и ω против хода часовой стрелки, для s4 ,s5 и V4 , V5 – вниз.

Определить в момент времени t1 = 2 с указанные в таблице в столбцах «Найти» скорости (V – линейные, ω – угловые) и ускорения (а – линейные, ε – угловые) соответствующих точек или тел (V5 – скорость груза 5 и т. д.).

Указания. В задаче К2 рассматривается многозвенный механизм, каждое звено которого совершает простое движение – поступательное (рейка 4 и груз 5) или вращение вокруг неподвижной оси (колеса 1-3). Для исследования движения звеньев следует переходить от одного звена к другому, начиная с ведущего. При расчетах нужно учесть, что точки соприкосновения тел имеют одинаковые скорости (так как проскальзывание отсутствует).

Рис. К2.5

Рис. К2.6		Рис. К2.7

Рис. К2.9

Рис. К2.8

Таблица К2

Номер

Дано

Найти

Условия

скорости

Ускорения

s4 = 4( 7t − t2 )

VB ,VC

ε2 ,aA ,a5

V = 2(t 2

− 3)

VA ,VC

ε3 ,aB ,a4

ϕ = 2t2

− 9

V4 ,ω2

ε2 ,aC ,a5

ω2 = 7t − 3t2

V5 ,ω3

ε2 ,aA ,a4

ϕ3 = 3t − t2

V4 ,ω1

ε1 ,aC ,a5

ω = 5t − 2t2

V5 ,VB

ε2 ,aC ,a4

ϕ2 = 2( t2 − 3t )

V4 ,ω1

ε1 ,aC ,a5

V = 3t 2

− 8

VA ,ω3

ε3 ,aB ,a5

s5 = 2t 2 − 5t

V4 ,ω2

ε1 ,aC ,a4

ω3 = 8t − 3t2

V5 ,VB

ε2 ,aA ,a4

Простые движения твердых тел (краткие сведения из теории).

Простых движений два: 1. Поступательное движение тела, 2. Вращение тела вокруг неподвижной оси.

1. Поступательное движение тела.

Признак движения: при движении тела любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему начальному положению.

Основная теорема: при поступательном движении тела все точки описывают одинаковые траектории и в один и тот же момент времени имеют одинаковые по величине и направлению скорости, а также одинаковые по величине и

направлению ускорения. Из теоремы следует, что это вид движения, когда скорость V и ускорение a одной точки являются скоростью и ускорением тела в целом (это верно только для поступательного движения).

Задание движения тела. Из теоремы следует: для того, чтобы задать движение тела, надо задать движение одной его точки, что можно сделать векторным, координатным и естественным способом (см. задачу К1). Заметим, что траектории точек - любые линии (не обязательно прямые).

Кабина "колеса обозре- ния" и стержень AB механизма

совершают поступательное движение (см. признак), но точки этих тел описывают, соответственно, окружности и циклоиды.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.08.20191.08 Mб22формирование личности ребенка в общении.docx
#
19.02.2016718.77 Кб45формирующее оценивание.pdf
#
19.02.2016230.4 Кб45Хрипкова_14.02.doc
#
19.02.2016203.26 Кб12Хрипкова_27.01.doc
#
19.02.20162.49 Mб20Часть1.pdf
#
19.02.2016503.32 Кб6Часть2.pdf
#
19.02.2016765.09 Кб4Часть3.pdf
#
19.02.2016869.01 Кб10Часть4.pdf
#
19.02.2016471.56 Кб3Часть5.pdf
#
22.07.201938.42 Кб4Человек как жертва неблагоприятных условий соци....docx
#
19.02.201635.74 Кб21Шаталов Виктор Федорович.docx