Задача 6.1
Решить графически (найти максимум и минимум целевой функции z); все переменные неотрицательны.
1.
Решение.
Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:
– (I)
– (II)
– (III)
– (IV)
по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): прямая (ІV) параллельная оси ,. Определим полуплоскости, заданные неравенствами:
, ,
, ,
, ,
Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Ответ. при
при
2.
Решение.
Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:
– (I)
– (II)
– (III)
– (IV)
по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): прямая (ІV) параллельная оси .
Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это неограниченная область. Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшего значения функция в области допустимых решений не принимает, поскольку область неограниченна справа, наименьшее – в точке .
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Ответ.
при
16.
Решение.
Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:
– (I)
– (II)
– (III)
по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): .
Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Ответ. при
при
17.
Решение.
Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:
– (I)
– (II)
– (III)
по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): .
Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Найдем координаты точки , решив систему уравнений:
Подставим найденные значения в :
Ответ. при
при
18.