Задача 6.1

Решить графически (найти максимум и минимум целевой функции z); все переменные неотрицательны.

1.

Решение.

Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:

– (I)

– (II)

– (III)

– (IV)

по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): прямая (ІV) параллельная оси ,. Определим полуплоскости, заданные неравенствами:

, ,

, ,

, ,

Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Ответ. при

при

2.

Решение.

Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:

– (I)

– (II)

– (III)

– (IV)

по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): прямая (ІV) параллельная оси .

Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это неограниченная область. Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшего значения функция в области допустимых решений не принимает, поскольку область неограниченна справа, наименьшее – в точке .

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Ответ.

при

16.

Решение.

Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:

– (I)

– (II)

– (III)

по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): .

Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Ответ. при

при

17.

Решение.

Для построения области допустимых значений построим соответствующие данным неравенствам граничные прямые:

– (I)

– (II)

– (III)

по точкам: для прямой (І) это точки , для прямой (ІI) это точки ,, для прямой (ІІІ): .

Определим полуплоскости, заданные неравенствами. Для этого подставим координаты точки О в неравенства. Если неравенство удовлетворяется координатами точки , то неравенства определяет полуплоскости в которой расположена точка , если нет то неравенство определяет вторую полуплоскость. Область допустимых решений определяется как общая часть всех полуплоскостей, соответствующим четырем данным неравенствам, и неравенствами , . Это многоугольник . Линии уровня функции – это семейство параллельных прямых. Построим одну из них , ее вектор нормали и она проходит через начало координат. Перемещаем линии уровня линейного функционала параллельно себе в направлении вектора – значение функции возрастает. Наибольшее значение функции в области допустимых решений принимает в точке , наименьшее – в точке .

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Найдем координаты точки , решив систему уравнений:

Подставим найденные значения в :

Ответ. при

при

18.