7. Статистична ймовірність

На практиці обчислити ймовірності випадкових подій можна лише для обмеженого класу задач у випадках як дискретних, так і недискретних просторів  елементарних подій. Для більшості практичних задач обчислити ймовірності “на кінчику пера” практично неможливо. У цьому разі використовується статистична ймовірність.

Результат одного експерименту є невизначеним наперед, але ряд ідентичних експериментів визначає найбільш імовірний результат, який і використовують при аналізі ситуації в бізнесі чи на інших теренах. Таке явище називають статистичною стійкістю події.

Наприклад, французький природодослідник Ж. Л. Л. Бюффон, вивчаючи випадкові події, провів дослід з підкиданням монети 4040 разів. Герб випав в 2048 випадках, отож частота „появи герба” в даному експерименті становить 2048:4040≈0,5.

Розглянемо приклад з науки про народонаселення – демографії. Наука не може передбачити стать новонародженого у кожному конкретному випадку, але якщо розглядати новонароджених у великій кількості, то відкривається наступна закономірність: у всі часи і в усіх країнах на кожну тисячу новонароджених приходилось 514 хлопчиків. Таким чином, 0.514 – це частка хлопчиків серед новонароджених. Ця закономірність була помічена дуже давно – ще в Стародавньому Китаї за 2238 років до нашої ери, на підставі перепису населення.

Як бачимо з прикладів, багато явищ нам здаються випадковими тільки при першому погляді на них. При більш поглибленому вивченні виявляється, що насправді крізь нагромадження випадковостей пробиває собі дорогу закономірність. Так, частота випадання «герба» коливається навколо числа 0.5, а частота народження хлопчиків виражається числом 0,514.

У добре налагодженому виробництві стійким виявляється відсоток якісних виробів.

Означення 17. Відносна частота події А дорівнює відношенню кількості m випробувань, у яких подія А відбулась (частоти появ події А), до загальної кількості n виконаних випробувань. Позначають:

. (8)

Як і для ймовірності випадкової події, для відносної частоти виконується нерівність 0≤W(A)≤1.

Означення 18. Ймовірністю події А називається число, відносно якого стабілізується відносна частота цієї події W(A) за необмежено великої кількості випробувань:

(9)

Ймовірність події за статистичним визначенням обчислюють тільки після проведення серії випробувань, які можна відтворювати необмежену кількість разів при одному і тому самому комплексі умов. Для подій має бути характерною статистична стійкість, тобто теорія ймовірностей вивчає лише такі випадкові події, в яких спостерігається стабільність відносних частот, а саме: у разі проведення k серій експериментів по n_k експериментів в кожній серії, існує така константа Р(А), навколо якої групуватимуться відносні частоти досліджуваної випадкової події А, тобто відносні частоти W_і(А) для кожної із k серій, і=1,2k. І таке групування буде тим ближчим до цієї константи, чим більшим буде число n_k експериментів в кожній серії. Випереджуючи лекційний матеріал наступних лекцій, зауважимо, що середнє арифметичне відносних частот по всіх k серіях доцільно взяти за наближену величину ймовірності події А, це обґрунтовується законом великих чисел за достатньо великої кількості як серій так і числа експериментів у кожній серії.

. (8)

Статистична ймовірність має назву апостеріорної (знайденої після досліду), на відміну від класичної чи геометричної, яку обчислюють апріорі (до досліду, тобто знайденої “на кінчику пера”).