Властивості алгебраїчних операцій над випадковими подіями

Події А, В, С (АΩ, ВΩ, СΩ) мають такі властивості:

1) АА=А; АА=А; АΩ=Ω; АΩ=А; А=А; А=; =Ω\А.

Комутативний закон для операцій додавання та множення

2) АВ=ВА;

3) АВ=ВА.

Асоціативний (сполучний) закон для операцій додавання та множення

4. (АВ)С=А(ВС);

5. (АВ)С=А(ВС).

Дистрибутивний (розподільний) закон

6. А(ВС)=(АВ)(АС).

4. Поняття ймовірності випадкової події на основі аксіоматичного підходу, аксіоми теорії ймовірності. Ймовірність настання принаймні однієї із групи подій. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, що складають повну групу

У світлі сучасних вимог щодо математичної строгості найдоцільніше будувати теорію ймовірностей на аксіоматичній основі. Найбільш поширеною в сучасній теорії ймовірностей є система аксіом, запропонована в 1929 році А.М. Колмогоровим. Цю систему ми й розглянемо.

Кожній події А поставимо у відповідність деяке число, яке називається ймовірністю події А, позначають Р(А). Так як будь–яка подія являє собою підмножину деякої множини Ω, то ймовірність події є функцією множини Ω.

Означення 14. Дійсні числа Р(А), Р(В),..., віднесені подіям А, В,... із деякого простору елементарних подій Ω називаються ймовірностями цих подій, якщо вони задовольняють наступним трьом аксіомам теорії ймовірностей.

Аксіома 1. Р(А)>0 для будь-якої події А простору подій Ω.

Аксіома 2. Р()=1 (ймовірність достовірної події дорівнює 1).

Аксіома 3 (Аксіома адитивності). Якщо А₁, А₂,, А_k – попарно несумісні події, тобто А_iА_j= при ij, то ймовірність суми скінченого чи нескінченного числа цих подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Р(А₁А₂А_k)=Р(А₁)+Р(А₂)++Р(А_k). (1)

Наслідки цих 3-х аксіом:

Наслідок 1. Застосувавши аксіому адитивності, (1), до подій  і , дістанемо: 1=Р()=Р(∪)=Р()+Р()=1+Р(), звідси випливає, що ймовірність неможливої події дорівнює нулю, Р()=0.

Зауваження 2. Обернене твердження не завжди вірне. Тобто, якщо ймовірність деякої події дорівнює 0, це ще не означає, що ця подія неможлива (див. нижче поняття геометричної ймовірності). Те саме можна зазначити стосовно достовірної події: якщо ймовірність деякої події дорівнює 1, ця подія не обов’язково буде достовірною.

Наслідок 2. Застосувавши (1) до протилежних подій А, , дістанемо: , звідси випливає, що ймовірності протилежних подій пов’язані співвідношенням

. (2)

Наслідок 3. За Аксіомою 1 та Наслідком 2 ( ), ймовірність події А не може бути більшою від одиниці. Отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійній нерівності

0Р(А)1,

тобто ймовірність події А це є додатне число, яке не перевищує одиницю.

Наслідок 4. Імовірність настання принаймні однієї з групи подій

Виділимо групу n подій А₁,А₂,А_n з-посеред інших можливих подій даного випробування і знайдемо ймовірність події А, яка полягає в тому, що відбудеться принаймні одна з подій цієї групи. Тоді протилежною буде подія яка полягає в тому, що в результаті випробування не відбудеться жодна з подій групи, отже: Знайдемо ймовірність події А через ймовірність протилежної події, застосувавши (2):

; (3)

Наслідок 5. Сума ймовірностей попарно несумісних подій, що склають повну групу

Нехай події А₁, А₂, А₃,…А_n у даному випробуванні утворюють повну групу подій, отже , їхня сума є достовірною подією: . Нехай ці події є попарно несумісні, тобто А_iА_j= при ij. Тоді згідно з аксіомою аддитивності та аксіомою2 маємо

Р(А₁)+Р(А₂)++Р(А_n)=1, (4)

тобто, сума ймовірностей попарно несумісних подій, що склають повну групу, дорівнює 1.

Наслідок 6. Для довільних випадкових подій даного випробування (не обов’язково попарно несумісних), А₁, А₂,, А_k , має місце нерівність

Р(А₁А₂А_k)  Р(А₁)+Р(А₂)++Р(А_k). (5)

З використанням аксіом та властивостей ймовірностей, які з них випливають, доводять основні теореми для ймовірностей випадкових подій. Ці теореми буде подано в наступній лекції.

Поняття ймовірності події, поряд із поняттям елементарної події, є первинними основними поняттями теорії ймовірностей, аналогічно тому як поняття точки і довжини відрізка (міри) – первинні в евклідовій геометрії. При цьому ймовірність події є кількісною мірою настання події.