3. Граничні теореми для схеми Бернуллі

Обчислення ймовірностей за формулою Бернуллі (5) при великих значеннях n пов’язане з труднощами розрахунку. Щоб уникнути їх, застосовують її асимптотичні вирази, які даються локальною та інтегральною теоремами Муавра – Лапласа. Ці вирази отримуються на основі закону великих чисел (див. далі)

3.1. Локальна теорема Лапласа. Імовірність того, що в n незалежних випробуваннях, у кожному з яких Р(А)=р, подія А відбудеться k разів, подається наближеним виразом:

, де , (8)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція (х) має назву функції Гаусса. Ця функція парна, (-х)=(х), і табулюється для х0 (див. ДОДАТОК 1) із зростанням х вона швидко спадає, за великих значень х функції Гаусса практично дорівнює 0.

3.2. Інтегральна теорема Лапласа. Імовірність того, що подія А відбудеться від k₁ до k₂ разів при проведенні n незалежних випробувань, у кожному з яких подія А відбувається з імовірністю р, розраховується за наближеним виразом:

, де , (9)

де n – достатньо велике число, q=1-р, а функція Ф(х) має назву функції Лапласа. Ця функція непарна, Ф(–х)=-Ф(х), і табулюється для х0 (див. ДОДАТОК 2), із зростанням х вона монотонно зростає від нульового значення при х=0 до граничного значення 0,5 при х, для значень х4 функція Ф(х) практично не змінюється і наближено дорівнює 0,5.

Відхилення відносної частоти від імовірності. Імовірність того, що при проведенні n незалежних випробувань відхилення відносної частоти події А, m/n, від ймовірності р цієї події за модулем не перевищить числа , визначається за наближеною формулою:

, (10)

де Ф(х) – функціяЛапласа.

3.3. Формула Пуассона для малоймовірних випадкових подій за масових випробувань

Точність асимптотичних формул для великих значень n (кількості незалежних випробувань за схемою Бернуллі) знижується з наближенням p до нуля. При n, p0, за умови np=a=const, формула Бернуллі (5) переходить у формулу Пуассона

, (11)

за якою обчислюється ймовірність появи малоймовірної випадкової події k разів в масових випробуваннях (за великого значення n).

Функція табулюється для різних значень k та а (див. ДОДАТОК 3).

Зауваження 3. В наступних лекціях буде показано, що величина np в повторних незалежних випробуваннях наближено дорівнює середньому арифметичному значенню спостережуваної кількості появ події А за проведення n випробувань.

Зауваження 4. Хоча формулу (11) виводять граничним переходом у формулі Бернуллі (5) за умови np=a=const при переході від однієї серії випробувань до іншої (за збільшення кількості n випробувань в серії ймовірність p появи події А у кожному з випробувань зменшується), за цією формулою зручно обчислювати ймовірність появи події k разів в n випробуваннях також і у випадку звичайної схеми Бернуллі за значень p сталих і малих, та значень n великих.

Приклад 4. Імовірність того, що під час епідемії грипу мешканець міста захворіє на цю хворобу, становить у середньому 0,03%. Яка ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб?

 За умовою: p=0,003; n=300; 0k3.

Оскільки n велике, а р мале число, то для обчислення ймовірностей застосуємо формулу Пуассона (11).

Обчислимо значення параметра а=np=3000,003=0,9.

Р₃₀₀(0k3)=Р₃₀₀(0)+Р₃₀₀(1)+Р₃₀₀(2)+Р₃₀₀(3)=е^-а(а⁰/0!+а¹/1!+а²/2!+а³/3!)=

=е^-0,9(1+0,9/1+0,9²/2+0,9³/6)≈0,40657(1+0,9+0,405+0,1215)≈0,40657+0,36591+

0,16466+0,04940≈0,9865. Тут: Р₃₀₀(0)≈0,40657; Р₃₀₀(1)≈0,36591; Р₃₀₀(2)≈ 0,16466; Р₃₀₀(3)≈0,04940.

Отже, достатньо високою є ймовірність того, що серед навмання вибраних 300 мешканців міста хворих на грип виявиться не більше 3-х осіб. 