2. Схема повторних випробувань (схема Бернуллі)

Нехай проводяться n випробувань, у кожному з яких подія А може відбутись лише один раз з ймовірністю Р(А)=р або не відбутись з ймовірністю настання протилежної події Оскільки ймовірність р події А у кожному з випробувань однакова, тобто не залежить від того, відбулась вона в інших випробуваннях чи ні, то такі випробування називають незалежними щодо події А. Зокрема, такі події мають місце у випадку повторення випробувань. Тому вживають термін – повторні випробування, а також і термін випробування за схемою Бернуллі.

Знайдемо ймовірність Р_n(k) появи події А k разів за проведення n повторних випробувань, 1kn.

Подамо подію А сумою несумісних подій в одному і тому самому складеному випробуванні, яке полягає в проведенні n повторних випробувань:

 ,

де А_і, і=1,2,n, – поява події А в і-тому випробуванні. Кількість таких подій-складових в записаній сумі дорівнює числу сполучень із n різних елементів по k елементів. Оскільки ймовірність кожної із подій-складових однакова і дорівнює р^kq^n-k, то з урахуванням Аксіоми адитивності про ймовірність суми попарно несумісних подій, дістанемо формулу Бернуллі

; 0≤k≤n, 0!=1. (5)

2.1. Найімовірніше число появ випадкової події в схемі Бернуллі

Число m₀ появ події А в n незалежних повторних випробуваннях називається найімовірнішою кількістю появи цієї події, якщо цьому числу відповідає найбільша ймовірність.

Число m₀ визначається одним із еквівалентних співвідношень

 , (6)

які випливають з формули (5).

Якщо (n+1)р – ціле число, то таких найімовірніших чисел буде не одне, а два, і одне з них – m₀=(n+1)р, а різниця граничних значень в (6) складає величину: (n+1)р-[(n-1)р+1]=2р-1.

Приклад 2. Знайти найімовірнішу кількість m₀ влучень в серії з 9-ти пострілів, якщо ймовірність успіху при одному пострілі дорівнює 0,7. Обчислить ймовірність цієї події.

 Застосувавши (6), дістанемо: m₀=(n+1)р=(9+1)0,7=7. Отже, найімовірніших чисел буде не одне, а два.

Відповідно до (6) дістанемо подвійну нерівність: (n-1)р+1m₀7  (91)0,7+1m₀7  6,6m₀7. Оскільки, найімовірніша кількість влучень є цілим числом, то m₀ ={6;7}.

Для обчислення ймовірностей Р₉(6), Р₉(7) застосуємо формулу (5):

Р₉(6)=С₉⁶р⁶q³=[9!/(6!3!)]0,7⁶0,3³=840,7⁶0,3³≈0,267; Р₉(7)=С₉⁷р⁷q²=[9!/(7!2!)]0,7⁷0,3²=360,7⁷0,3²≈0,267. 

2.2. Кількість незалежних випробувань, необхідних для настання із заданою імовірністю принаймні однієї події в схемі Бернуллі

Імовірність настання події А принаймні один раз у n випробуваннях знаходимо за формулою Р_n(1≤k≤n)=1-Р_n(0)=1-qⁿ, де q=1-р. Звідси для кількості n випробувань, які необхідно провести, щоб з імовірністю Р можна було стверджувати, що подія А з’явиться принаймні один раз, маємо:

Р=1-qⁿ  qⁿ=1-Р

. (7)

Приклад 3. За одну годину автомат виготовляє 20 деталей. За скільки годин імовірність виготовлення принаймні однієї бракованої деталі буде не меншою від 0,952, якщо імовірність браку будь-якої деталі дорівнює 0,01?

 Застосувавши (7) при Р=0,952 і р=0,01, дістанемо:

nln(1-0.952)/ln(1-0.01)=ln(0,048)/ln(0,99)302.

Отже, за час t=302/2015 годин автомат виготовить принаймні одну браковану деталь із ймовірністю не меншою від 0,952. 