8.3. Довірчий інтервал для дисперсії при відомому математичному сподіванні

Нехай – вибірка спостережень з нормальної генеральної сукупності. Знайдемо довірчий інтервал для дисперсіїнормально розподіленої величиниз відомими математичним сподіванням.

Оскільки значення математичного сподівання відоме, то як оцінку величини візьмемо точкову оцінку дисперсії, яку будемо розглядати як випадкову величину, залежну від випадкової вибірки. Тоді величинає сумою квадратів значень. Ці величини мають стандартний нормальний розподіл з параметрами 0 і 1, а сумамаєрозподіл Пірсона зстепенями вільності. Користуючись щільністю-розподілу, знайдемо інтервал, в який значенняпотрапляють з надійністю. Позначимо цей інтервал. Оскільки розподілне є симетричним, то щоб отримати симетричний відносно параметра інтервал, значенняівиберемо так, щоб ймовірність попадання значеньлівішеі правішебула однаково рівною. Тоді

.

Числа і можна відшукати за спеціальною таблицею критичних точок розподілу , виходячи з того, що ,. Після того, як числа і вибрані, можливо визначити довірчий інтервал для дисперсії . Оскільки, то нерівністьперетвориться на нерівністьабо, в еквівалентному вигляді. Цяподвійна нерівність означає, що довірчим інтервалом для дисперсії з надійністює проміжок.

Зауваження. Таблиці критичних точок ірозподілумістять два параметри: рівень значущості, визначуваний значеннямиі, а також число степенів свободи, рівне об'єму вибірки. Критичні значення в таблицях найчастіше позначаються.

Зауваження. Критичні точки розподілу можна обчислити

а) в Excel за формулою =ХИ2ОБР(α; k), де α – рівень значущості, k – число ступенів свободи.

а) в Mathcad за формулою qchisq(1–α; k), де α – рівень значущості, k – число ступенів свободи.

Приклад 4. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для дисперсіїз надійністю .

Розв’язання. Об'єм вибірки , вибіркове середнє, вибіркова дисперсія. За заданою надійністю обчислимо

, .

Відшукаємо числа і за таблицею критичних точок розподілу :

, .

Отримаємо довірчий інтервал для дисперсії:

,

.

Таким чином, інтервал покриває параметрз надійністюпривідомому математичному сподіванні.

8.4. Довірчий інтервал для дисперсії при невідомому математичному сподіванні

Знайдемо довірчий інтервал для дисперсії нормально розподіленої величиниз невідомими математичним сподіванням.При виведенні інтервальної оцінки у разі відомого математичного сподівання , ми користувалися величиною . Тепер це значення використовувати неможна, тому за незміщену оцінку дисперсії будемо використовувати виправлену вибіркову дисперсію.. Випадкова величинамає розподіл Пірсонаізступенями свободи. Виберемо близьку до одиниці ймовірністьі знайдемо інтервал, в який потрапляє невідомий параметр з надійністю. Для цього повторимо міркування пункту 8.3 і отримаємо, що оцінюване значення дисперсіїз надійністюпокривається довірчим інтервалом

.

Приклад 5. В умовах прикладу 3 знайти довірчий інтервал для дисперсіїпри невідомому математичному сподіванні з надійністю .

Розв’язання. Об'єм вибірки , вибіркове середнє, вибіркова дисперсія, виправлена вибіркова дисперсія .

Отримаємо довірчий інтервал для дисперсії:

,

.

Таким чином, інтервал покриває параметрз надійністюпри невідомому математичному сподіванні.