4. Властивості визначників
Наступні властивості визначника дозволяють здійснювати його еквівалентні перетворення, що не змінюють величини визначника, та одержувати якомога більшу кількість нулів в певному рядку (стовпці).
Допоміжні поняття
Нехай є скінченна множина деяких елементів {А1, А2, А3,⋯Аn}. Це можуть бути многочлени n-го степеню з різними коефіцієнтами чи стовпці матриці або рядки матриці тощо.
Означення 5. Операції множення елемента на число та додавання елементів даної множини називають лінійними операціями.
Означення 6. Елемент даної множини, утворений в результаті лінійних операцій над іншими елементами цієї множини, називають лінійною комбінацією елементів.
Означення 7. Якщо є n елементів множини (серед яких немає нульового елемента) і існують такі n постійних чисел 1, 2, 3,...n, що лінійна комбінація цих елементів буде рівною нулю, тобто
1∙А1+2∙А2+3∙А3+…+n∙Аn=0, (8)
то елементи А1, А2, А3,…Аn називають лінійно залежними. Якщо рівність (8) має місце лише за нульових значень усіх чисел j, то елементи А1, А2, А3,…Аn – лінійно незалежні.
Наслідок лінійної залежності елементів.
Якщо елементи А1, А2, А3,…Аn лінійно залежні, то принаймні один із них можна подати у вигляді лінійної комбінації інших. Справді, якщо елементи лінійно залежні, то виконується рівність (8). Припустимо, що числовий множник 2 при елементові А2 в цій рівності відмінний від нуля. Розглядаючи (8) як рівняння відносно А2, знайдемо
А2=(-1/2)∙А1+(-3/2)∙А3+…+(-n/2)∙Аn=0, якщо 2≠0. (9)
Властивості визначників
1. Визначник матриці при її транспонуванні не змінюється: (А)=(АТр).
Наслідок. Сформульовані нижче властивості визначників стосовно рядків мають місце також і стосовно стовпців.
2. Якщо у визначнику поміняти місцями будь-які два рядки, то визначник змінить знак на протилежний.
3. Визначник не змінюється при винесенні за його знак спільного множника усіх елементів рядка визначника.
4. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
5. Визначник з однаковими чи з пропорційними двома рядками дорівнює нулю.
6. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника подано у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перші доданки у першому визначнику і другі доданки у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.
Наслідки властивостей 6, 5.
а) Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.
б) Якщо деякий рядок визначника становить лінійну комбінацію інших його рядків, то визначник дорівнює нулю. Доказано, що необхідною і достатньою умовою рівності нулю визначника є лінійна залежність принаймні двох його рядків (чи стовпців).
Приклад 3. Обчислити визначник 4-го порядку
Розв’язання
Перетворимо цей визначник у такий спосіб, щоб отримати якомога більше нулів у 2-му рядку, бо там уже є один нуль і є одиниця, яка спрощує перетворення. Елементи 2-го стовпця, де є 1 в 2-му рядку, помножимо на (2) і додамо до відповідних елементів 3-го стовпця, потім елементи 2-го стовпця помножимо на 4 і додамо до відповідних елементів 4-го стовпця. В результаті одержимо
Зауваження 4. Якщо нулі утворюються в рядках, то для їх утворення використовуються елементи стовпців (і навпаки, якщо нулі утворюються в стовпці, то для їх утворення використовують елементи рядків).
Тепер визначник розкладемо за елементами 2-го рядка
Використовуючи правило обчислення визначників 3-го порядку, (5), одержимо
(А)=-3[7+130-33-(55-42+13)]=-3(179-101)=(-3)∙78=-234
Означення 8. Якщо всі елементи визначника, що розташовані вище (нижче) його головної діагоналі, дорівнюють нулю, кажуть, що такий визначник має трикутний вигляд, при цьому величина визначника дорівнює добутку елементів головної діагоналі.
Заключення.
Розглянуто елементи матричного числення: алгебраїчні дії над матрицями та визначники – обчислення визначників 2-го та 3-го порядку. Ці поняття застосовуються зокрема в теорії систем лінійних алгебраїчних рівнянь, які описують широке розмаїття прикладних задач технічних, економічних тощо.
Доцент кафедри вищої математики
Кандидат фізико – математичних наук О. В. Омецінська