3. Основні операції над множинами

Існує ще один спосіб задання множин – за допомогою операцій над іншими множинами. На булеані визначаються наступні операції над множинами і .

Назва і позначення	Означення	Геометрична ілюстрація
Об'єднання
Переріз
Різниця
Доповнення
Симетрична різниця

Використовуючи операції ∩¸ ¸ \¸ можна виражати одні множини через інші. За умовчанням приймається пріоритет операцій: . Для зміни цього порядку у виразі використовують дужки.

Таким чином, множину можна задати виразом, в який входять множини, операції і, може бути, дужки. Такий спосіб завдання множини називається аналітичним.

4. Властивості операцій над множинами

Операції над множинами, як і операції над числами, мають певні властивості. Ці властивості виражаються сукупністю тотожностей незалежно від конкретного змісту множин, що входять у них, і є підмножинами деякого універсуму , тобто множинами з .

Теорема. Для будь-яких множин з булеану справедливі наступні тотожності (основні закони теорії множин):

1. – комутативність	1*. – комутативність
2. – асоціативність	2*. – асоціативність
3. – дистрибутивність відносно	3*. – дистрибутивність відносно
закони поглинання
4.	4*.
закони де Моргана
5.	5*.
6.
закони ідемпотентності
7.	7*.
властивості і
8.	8*.
9.	9*.
10. ,
11.
12.

Доведення (самостійно) всіх рівносильностей проводиться

1) за означенням рівності множин і за означеннями операцій над множинами.

2) за допомогою діаграм Ейлера-Венна.

За допомогою основних властивостей операцій над множинами доводять рівності множин і спрощують вирази алгебри множин.

5. Декартовий добуток множин

Нехай і – довільні множини.

Означення. Впорядкованою парою називається пара елементів , , взятих в певному порядку.

Дві впорядковані пари вважаються рівними, якщо рівні їх відповідні компоненти:

.

Означення. Декартовим добутком двох множин і називається множина всіх впорядкованих пар :

.

Якщо , то кажуть про декартовий квадрат множини :

Аналогічно можна ввести декартовий добуток трьох , чотирьох і т.д. множин. При скорочено пишуть і кажуть про -й декартовий степінь множини . Елементами є послідовності (набори, вектори, рядки) довжини .

За означенням покладають, що перший декартовий степінь будь-якої множини є сама множина , тобто .

Декартовий добуток має наступні властивості:

1. – некомутативність;

2. – дистрибутивність відносно ;

3. – дистрибутивність відносно ;

4. .

Приклад: Нехай , . Тоді

;

.

2. Нехай R – множина всіх дійсних чисел. Тоді декартовий квадрат є просто множина всіх декартових координат на площині відносно заданих координатних осей ( – множина точок площини). Якщо , то – одиничний квадрат на площині.

Лекція розроблена доцентом кафедри ВМ, к.т.н. Скубаком О.М.