Обертальний рух матеріальної точки відносно нерухомої осі

Якщо тіло обертається відносно нерухомої осі, то кожна його точка рухається по колу відповідного радіуса (рис. 1.11). Розглянемо рух матеріальної точки по колу

(1.59)

Знайдемо роботу сили F:

Роботу виконує тільки тангенціальна складова сили F:

Потужність обертального руху:

(1.59)

Для твердого тіла, оскільки для його точок є однаковим, то:

, (1.60)

де M— рівнодійна моментів сил, прикладених до однієї точки.

Знайдемо кінетичну енергію матеріальної точки, що обертається навколо нерухомої осі:

Отже, для обертального руху:

(1.61)

Величина, що дорівнює добутку маси матеріальної точки на квадрат відстані до осі обертання називається моментом інерціїматеріальної точки.

(1.62)

Відповідно для кінетичної енергії обертального руху можна записати:

(1.63)

За теоремою про зміну кінетичної енергії:

(1.64)

У векторній формі:

(1.64а)

Це є основне рівняння динаміки для обертального руху або ІІ закон Ньютона для обертального руху.

Для абсолютно твердого тіла, оскільки для нього ωіεоднакові для всіх точок, то:

(1.65)

(1.66)

Моментом інерції твердого тіла називається дорівнює сумі сума моментів інерційелементів мас з яких це тіло складається. Аналогічно основне рівняння динаміки обертального руху тіла має вигляд:

,

де - рівнодійна моментів всіх сил, прикладених до тіла,I- момент інерції тіла,- кутове прискорення тіла.

Приклад.

Знайдемо момент інерції стержня довжиною L, масою m відносно осі, що проходить через його центр мас (рис. 1.12). Для цього розділимо стержень на елементи маси dm. Відстань до елемента маси від осі х.

Теорема Штейнера (Гюйгенса)

Нехай нам заданий момент інерції твердого тіла відносно осі, що проходить через центр його мас (рис. 1.13).

Знайдемо момент інерції цього тіла відносно осі , яка паралельна попередній і віддалена від неї на відстаньd. Проведемо черезdmплощину паралельну XOY:

- момент інерції тіла відносно осіS.

(1.67)

Отже, момент інерції твердого тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції цього тіла, що проходить через його центр мас і яка паралельна попередній, і добутку маси тіла на квадрат відстані між осями

1Частіше всього під тілом розуміютьабсолютно тверде тіло –система матеріальних точок, відстань між якими в процесі руху або взаємодії не змінюється, або це тіло, деформацією якого можна знехтувати.

2Насправді точка прикладання сили тертя знаходиться на межі поділу тіло-поверхня, а точка прикладання зовнішньої діючої сили – центр мас тіла. На практиці, якщо розміри тіла не великі, цією різницею нехтують і усі сили відкладають від центру мас тіла