ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІНФОРМАЦІЙНО КОМУНІКАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ

Редько Р.А., Гориня Л.М.

Дослідження залежності моменту інерції тіла від

положення осі обертання

Київ 2010

Лабораторна робота № 2б

Дослідження залежності моменту інерції тіла від

положення осі обертання

1. Мета роботи.

Визначити момент інерції тіла при трьох різних положеннях осі обертання.

2. Теоретичні відомості.

Вектор лінійної швидкості спрямований по дотичній до траєкторії руху і по величині дорівнює першій похідній від шляху за часом:

(1)

Вектор прискорення дорівнює границі відношення приросту вектора швидкості до того проміжку часу , за яке він відбувся, за умови, що цей проміжок часу прямує до нуля, тобто прискорення дорівнює першій похідній від вектора швидкості по часу:

(2)

У кожному разі вектор можна розкласти на тангенціальну та нормальну складові:

(3)

Тому вектор можна представити сумою двох величин:

(4)

У виразі (4) величину:

(5)

називають тангенціальним прискоренням, а величину:

(6)

нормальним прискоренням.

Прискорення , яке називається повним, є векторною сумою й , тобто:

(7)

Можна довести, що за величинами:

(8)

, (9)

де R- радіус кривизни траєкторії руху в розглянутий момент часу.

Тангенціальне прискорення спрямоване по дотичній до траєкторії руху та характеризує зміну вектора швидкості за числовим значенням. Якщо рух прискорений, то збігається за напрямком з (рис. 1а), а якщо сповільнений то направлене протилежно до (рис. 1б). Якщо швидкість по величині не змінюється, то .

Нормальне прискорення спрямоване по радіусу до центра кривизни траєкторії руху (воно називається також доцентровим) і характеризує зміну швидкості по напрямку.

а

б

Рис. 1.

Оскільки та завжди взаємоперпендикулярні, то по величині:

(10)

При обертальному русі матеріальної точки, лінійна швидкість:

, (11)

де l – довжина дуги траєкторії.

Оскільки , то

, (12)

де — кутова швидкість матеріальної точки. Вона чисельно дорівнює куту повороту за одиницю часу. Одиниці вимірювання в СІ – [ω] = [].

В загальному випадку кутовій швидкості надається зміст вектора, спрямованого по осі обертання (осьового вектора). Цей вектор спрямований так, щоб, дивлячись йому вслід, можна було б бачити обертання матеріальної точки за годинниковою стрілкою, тоді (рис. 2).

Кутовим прискоренням називають величину, чисельно рівній першій похідній від кутової швидкості по часу:

(13)

Одиниці вимірювання в СІ – [] = [].У векторній формі, відповідно:

Кутовому прискоренню теж надають зміст осьового вектора, напрямок якого збігається з напрямком вектора кутової швидкості при прискореному русі та протилежний йому – при сповільненому русі (рис. 2).

а) ω>0 б) ω<0

Рис. 2.

Між лінійними та кутовими характеристиками руху існує наступний взаємозв'язок:

(14)

(15)

(16)

(17)

Абсолютно тверде тіло (АТТ) – це тіло, яке не деформується ні при яких впливах. В абсолютно твердому тілі відносне положення його частинок у процесі руху не змінюється.

Обертальним називається рух тіла, при якому всі його точки описують кола, центри яких лежать на осі обертання.

Моментом сили М відносно деякої осі обертання z (обертальним моментом) називається величина, чисельно рівна добутку діючої на тіло сили F на плече h , тобто

M_z=Fh (18)

В загальному випадку момент сили це величина векторна: .

Плечем сили називається найкоротша відстань від осі обертання до лінії дії (напрямку) цієї сили.

Інертність тіла, яке обертається залежить від розподілу його маси відносно осі обертання та характеризується величиною, що носить назву моменту інерції I. Розрізняють момент інерції матеріальної точки і момент інерції АТТ.

Моментом інерції матеріальної точки відносно осі z називається величина, чисельно рівна добутку маси точки m на квадрат відстані від неї до центра обертання r:

(19)

Момент інерції АТТ відносно осі z є сумою моментів інерції всіх точок, з яких це тіло складається:

(20)

Момент інерції АТТ залежить як від його форми, маси й розмірів, так і від розташування осі обертання. Для тіла у формі паралелепіпеда:

, (21)

де m - маса тіла, і - розміри тіла , зазначені на рис. 3

Рис. 3.

Основний закон обертального руху для АТТ полягає в тому, що обертальний момент М_z і кутове прискорення , отримане тілом під дією цього моменту, прямопропорційні та записуються у вигляді:

(22)