3.Операторний метод
Операторний метод відрізняється від класичного тим, що пошук розв’язку задачі проводиться не з дійсними величинами, а їхніми «зображеннями» в комплексній області, що значно спрощує сам процес, оскільки диференціювання та інтегрування заміняється множенням і діленням. Для початку складемо операторну схему заміщення (рис.3.1.), де замість «оригіналів» струмів і напруг вазуються їхні «зображення». Врахуємо також нулеві початкові умови:
Для спрощення розв’язку замінимо групу резисторів еквівалентним опором R
Рис.3.1.Схема для розрахунку кола методом контурних струмів.
-
із першої задачі
Розрахунок кола будемо проводити за допомогою методу контрних струмів. Відповідно до схеми складемо рівняння:
;
Тепер потрібно перейти до оригіналу функції, для цього скористаємося теоремою розкладання. Коротко опишемо її.
Якщо зображення має вигляд
раціонального дробу: 
,
і один з коренів рівняння 
,
рівний нулю 
,
тобто 
,
то оригінал функції матиме вигляд:
,
де 
-
корені рівняння 
.
Знайдемо нулі функції, тобто корені многочлена чисельника:
.
Тепер знайдемо похідну:
.
Запишемо оригінал:
.Отримані результати повторюють
отримані попереднім методом.
4.Спектральний метод
Сутність спектрального методу полягає у тому, щоб визначити, як впливає контур на сигнал, що може бути розкладений на складові гармоніки за допомогою перетворення Фур’є, на різних частотах, змінюючи їхню амплітуду і фазу. Згідно завдання нам дано вхідний сигнал – послідовність прямокутних відеоімпульсів, який можна зобразити на часовій діаграмі так, як на рис.4.1.
Рис.4.1.Вхідний сигнал – послідовність прямокутних відеоімпульсів.
Визначимо період слідування прямокутних імпульсів:
.
Ми рахуємо, що більшість енергії передається першими двома арками спектру сигналу, тому достатньо обчислення вести для перших двох арок спектру сигналу:
.
Спектральна щільність вхідного періодичного сигналу визначається по формулі:
,
де
- номери гармонік.
Визначимо частотний спектр вхідного сигналу – послідовність частот складових гармонік. Циклічна частота складових:
,
де
- циклічна частота слідування
імпульсів.
Можна було б виразити і через просту частоту гармонік:
,
де
- частота слідування імпульсів.
Визначимо амплітудно-частотний спектр вхідного сигналу – залежність амплітуд гармонік від їхньої частоти. Перша складова у формулі спектральної щільності – це амплітуда нулевої гармоніки (середнє значення напруги):
.
Амплітуди наступних гармонік визначаються за формулою:
,
де 
- номери гармонік.
Фазо-частотний спектр вхідного сигналу – це залежність значень початкових фаз гармонік від їх частоти. Початкові фази складових визначаються за формулою:
,
де 
- номери гармонік, 
-
номер арки.
Слід зазначити, що при
початкова
фаза 
не визначена, оскільки 
,
тобто коли амплітуда рівна нулю, ми не
можемо говорити про кут початкової
фази. Умовно ми будемо записувати на
цьому місці нулі. Результати розрахунків
занесемо до таблиці 4.1.
Ми визначили спектри вхідного сигналу:
частотний спектр;
амплітудно-частотний спектр (АЧС Вх.);
фазо-частотний спектр (ФЧС Вх.);
Таблиця 4.1. АЧС і ФЧС вхідного сигналу.
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
|
0 |
250 |
500 |
750 |
1000 |
1250 |
1500 |
|
|
0 |
1570.796 |
3141.593 |
4712.389 |
6283.185 |
7853.982 |
9424.778 |
|
|
10 |
19.673 |
18.71 |
17.168 |
15.137 |
12.732 |
10.091 |
|
|
0 |
0.628 |
1.257 |
1.885 |
2.513 |
3.142 |
3.77 |
|
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
|
|
1750 |
2000 |
2250 |
2500 |
2750 |
3000 |
3250 |
|
|
10995.574 |
12566.371 |
14137.167 |
15707.963 |
17278.76 |
18849.556 |
20420.352 |
|
|
7.358 |
4.677 |
2.186 |
0 |
1.788 |
3.118 |
3.962 |
|
|
4.398 |
5.027 |
5.655 |
0 |
3.77 |
4.398 |
5.027 |
|
|
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
|
3500 |
3750 |
4000 |
4250 |
4500 |
4750 |
5000 |
|
|
21991.149 |
23561.945 |
25132.741 |
26703.538 |
28274.334 |
29845.13 |
31415.927 |
|
|
4.325 |
4.244 |
3.784 |
3.03 |
2.079 |
1.035 |
0 |
|
|
5.655 |
6.283 |
6.912 |
7.54 |
8.168 |
8.796 |
0 |
Варто зауважити, що спектр періодичного сигналу дискретний. Спектри вхідного сигналу – послідовності прямокутних відеоімпульсів, зображено на рис.4.2. – АЧХ, на рис.4.3. – ФЧХ.
Рис.4.2. Амплітудно-частотний спектр вхідного ситналу.
Рис.4.3. Фазо-частотний спектр вхідного ситналу.