Matematicheskaya_statistika_v_meditsine
.pdfее отвергании. В большинстве случаев для того, чтобы мы признали различия значимыми, необходимо, чтобы эмпирическое значение критерия превышало критическое, хотя есть критерии, в которых мы должны придерживаться противоположного правила (например, критерий Манна – Уитни). В некоторых случаях расчетная формула включает в себя количество наблюдений в исследуемой выборке n. По специальной таблице мы определяем, какому уровню статистической значимости соответствует данная эмпирическая величина (например,
критерий |
|
, вычисляемый на основе углового преобразования Фишера). |
|
||
В большинстве случаев одно и то же эмпирическое значение критерия может оказаться |
||
значимым или незначимым в зависимости от количества наблюдений в исследуемой выборке n или от числа степеней свободы (обозначается как или f, или df). Число степеней свободы равно числу классов вариационного ряда минус число условий, при которых он был сформирован (к таким условиям относятся объем выборки, средние и дисперсии). Например, мы имеем
наблюдения, расклассифицированные по трем классам номинативной шкалы: «проголосовал «за»», «проголосовал «против»», «воздержался». Единственное условие, которое соблюдается при его формировании – объем выборки n. Допустим, выборка состоит из 50 человек. Если в первый класс отнесены 25 испытуемых, во второй – 15, то в третьем должны оказаться все остальные 10. Поэтому, даже если потеряны данные о частоте в классе «воздержался», можно определить это, зная данные по первому и второму классу и объем выборки. Мы не свободны в определении количества испытуемых в третьем разряде, «свобода» имеется только в первых двух ячейках классификации. c 1 3 1 2 .
Критерии бывают параметрическими и непараметрическими.
Параметрические критерии – критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения (средние или дисперсии).
Непараметрические критерии не включают в формулу расчета параметры распределения и основанные на оперировании частотами или рангами.
И те и другие имеют свои преимущества и недостатки.
6.3.2. Мощность статистических критериев
Критерии различаются по мощности.
Мощность критерия – это его способность выявлять различия или отклонять нулевую гипотезу, если она неверна. Можно сказать еще и так, что это его способность не допустить
ошибку 2-го рода, поэтому: мощность равна |
(1 ) |
. |
|
Врач-психолог может решать экспериментальные задачи с использованием разных статистических критериев; возможна ситуация, что один критерий позволяет обнаружить различия, а другой их не выявляет. Это означает, что первый является более мощным, чем второй. Для чего тогда использовать менее мощные критерии? Если значимые различия установлены с помощью менее мощного критерия, то более мощный заведомо подтвердит факт существования этих различий. Нельзя забывать, однако, что отсутствие достоверных разли-
51
чий, зафиксированное с помощью одного критерия, не является гарантией того, что более мощный критерий не установит их наличия. Выбирая критерий, следует учитывать следую-
щее:
а) выбирать критерий, адекватный типу шкалы, в которой измерены данные; б) учитывать объемы выборок; в) с зависимыми или с независимыми выборками имеем дело.
6.4. Классификация задач, решаемых с помощью статистических методов
Прежде чем проводить эксперимент, необходимо четко сформулировать его задачи, определить экспериментальную гипотезу и этапы ее статистической проверки, выбрать статистический метод, наиболее эффективный для решения поставленных исследователем задач. Множество задач медико-психологического характера предполагает те или иные сопоставления. Это могут быть сопоставления одних и тех же показателей в разных группах испытуемых, а также разных показателей в одной и той же группе. Могут сравниваться показатели до и после какого-либо воздействия с целью определения эффективности этого воздействия. Можно сравнивать два выборочных распределения между собой или выборочное распределение с теоретическим законом распределения.
Условно можно классифицировать задачи следующим образом:
1.Выявление различий в уровне исследуемого признака.
2.Оценка сдвига значений исследуемого признака.
3.Выявление различий в распределении признака.
4.Выявление степени согласованности изменений.
5.Анализ изменений признака под влиянием контролируемых условий.
52
ГЛАВА 7. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ СРАВНЕНИЯ ОЦЕНОК СРЕДНИХ И ДИСПЕРСИЙ
7.1. F-критерий Фишера для сравнения оценок дисперсий
Как следует из названия, данный критерий позволяет сравнивать оценки дисперсий двух генеральных совокупностей. При этом должно выполняться требование нормальности распределения признака в совокупностях.
Эмпирическое значение критерия находится по формуле:
|
|
2 |
|
|
|
|
|
Fэмп |
s |
|
|
|
|
|
б |
. |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
м |
|
|
|
|
|
Критические значения находятся по таблицам 6, 7, 8 и 9: Fкр Fкр ( , nб 1, nм 1) , где: |
|||||
|
– уровень значимости, где |
nб |
– объём выборки с большей оценкой дисперсии, nм |
– объём |
||
выборки с меньшей оценкой дисперсии.
После определения эмпирического и критического значений производится их сравне-
ние. В случае |
Fэмп Fкр |
принимается гипотеза о значимости различий оценок дисперсий |
( H1
сий
), а в случае Fэмп Fкр принимается гипотеза о незначимости различий оценок диспер- ( H0 ).
7.2. t-критерий Стьюдента
7.2.1. t-критерий Стьюдента для сравнения средних для малых выборок.
Данный критерий позволяет сравнивать между собой оценки генеральных средних. Для того, чтобы использовать данный критерий необходимо убедиться в том, что выполняются следующие условия:
1. Признак в генеральных совокупностях распределен нормально (для проверки нормальности распределения признака можно использовать параметрические критерии: Шапиро – Уилка, асимметрии и эксцесса и др., или непараметрические критерии: λ-критерий Колмогорова – Смирнова, χ2-критерий Пирсона и др.);
2.Объемы выборок n1 малыми;
3.Оценки дисперсий
,
s
|
n2 |
должны быть менее 30 – в этом случае выборки называют |
|
2 |
и |
2 |
статистически не различаются (для проверки данного |
x |
s y |
||
условия можно использовать F-критерий Фишера). Эмпирическое значение критерия находится по формуле:
tэмп |
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
nx ny |
(nx ny 2) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
n |
|
1 s2 n |
|
1 s2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x |
y |
|
|
|
nx ny |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Критические значения находятся с помощью таблицы 4: |
tкр tкр ( , f ) |
где: – уро- |
||||||||||||||||||||
вень значимости, |
f |
n |
x |
n |
y |
2 |
– число степеней свободы. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
После определения эмпирического и критического значений производится их сравне- |
||||||||||||||||||||||
ние. В случае |
|
t |
эмп |
t |
кр |
принимается гипотеза о значимости различий средних значений |
||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
( H ( H
1 ), а в случае tэмп tкр принимается гипотеза о незначимости различий средних значений
0 ).
53
7.2.2. t-критерий Стьюдента для сравнения средних для больших выборок
В отличие от предыдущего критерия к данному критерию не предъявляется требование равенства оценок дисперсий. Данный критерий применим в том случае, когда объемы выбо-
рок тать,
n1 |
, |
n2 |
больше 30, и признак в выборках распределен нормально (условно можно счи- |
что при больших объемах выборок это условие выполняется автоматически). Эмпирическое значение критерия находится по формуле:
t |
|
|
x y |
|||
эмп |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
s |
|
|
|
|
s |
|
||
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 y
y
.
Критические значения критерия находятся из соотношения:
(t |
|
) |
1 |
|
кр |
2 |
|||
|
|
|||
|
|
|
, где:
– уровень значимости,
(t |
кр |
) |
|
|
– функция Лапласа (см. таблицу 2).
Для экономии времени можно запомнить следующие критические значения для данного кри-
терия:
t |
кр |
(0.05) |
|
|
1.96
,
t |
кр |
(0.01) |
|
|
2.57
.
После определения эмпирического и критического значений производится их сравне-
ние. В случае |
tэмп tкр |
принимается гипотеза о значимости различий средних значений |
(
(
H H
1 0
), а в случае tэмп tкр принимается гипотеза о незначимости различий средних значений
).
Примеры решения задач
Пример 18. При испытаниях получены следующие оценки
препарата, снижающего систолическое давление дисперсий: для экспериментальной группы ( n1
были
20 ) –
s2 1
16
,
для контрольной группы
(
n2
19
) –
s2 2
8
.
Проверить гипотезу (ненаправлен-
ную) о значимости различий оценок дисперсий и гипотезу (направленную) о превышении оценки дисперсии экспериментальной группы оценки дисперсии контрольной группы. Уровень значимости принять равным 0.05.
Решение:
Так как требуется сравнить дисперсии двух признаков, то будем использовать F-
критерий Фишера.
1. Находим эмпирическое значение критерия:
|
s2 |
16 |
|
||
F |
б |
|
|
|
2.0 . |
|
|
|
|||
эмп |
s2 |
8 |
|
||
|
|
||||
|
м |
|
|
|
|
2. Находим критические значения критерия (используем таблицу 6): а) для ненаправленной гипотезы:
F |
( , n |
1, n |
м |
1) F |
(0.05;20 1;19 1) F |
(0.05;19;18) |
кр |
б |
|
кр |
кр |
|
|
2.2. |
|
|
|
|
|
|
б) для направленной гипотезы (используем таблицу 8) : |
||||||
F |
( , n |
1, n |
м |
1) F |
(0.05;20 1;19 1) |
|
кр |
б |
|
кр |
|
|
|
F (0.05;19;18) 2.6. |
|
|
||||
|
кр |
|
|
|
|
|
3. Сравниваем эмпирическое и критические значения и делаем выводы: а) для ненаправленной гипотезы:
Fэмп Fкр , отсюда следует, что принимается гипотеза о незначимости различий оценок дисперсий ( H0 );
б) для ненаправленной гипотезы:
54
Fэмп Fкр , отсюда следует, что принимается гипотеза о незначимости превышения |
|||||
оценки дисперсии экспериментальной группы оценки дисперсии контрольной группы ( H0 ). |
|||||
Пример 19. При испытаниях препарата, снижающего систолическое давление были |
|||||
получены |
следующие |
оценки |
дисперсий: для |
экспериментальной |
группы |
(
nx
20
):
x
121
,
s2 x
10
, для контрольной группы (
ny
19
):
y
150
,
s2 y
21
. Прове-
(
рить гипотезу о значимости различий оценок математических ожиданий систолического давления экспериментальной и контрольной группы. Уровень значимости принять равным 0.05. Считать распределение признака в выборках нормальным.
Решение: |
|
|
|
Перед решением |
обращаем внимание на то, что обе выборки являются малыми |
||
nx , ny 30 ), |
поэтому |
будем |
использовать |
t-критерий Стьюдента для сравнения средних для малых выборок. Перед тем как вычислять эмпирическое значение критерия убедимся в том, что выполняются необходимые требования к выборкам:
1.Признак в выборках распределен по нормальному закону – это требование выполняется по условию задачи,
2.Оценки дисперсий статистически не различаются. Для проверки данного требования используем F-критерий Фишера сравнения дисперсий:
а) Находим эмпирическое значение F-критерия:
|
|
s |
2 |
|
F |
б |
|||
|
||||
эмп |
|
s |
2 |
|
|
|
м |
||
|
|
|
|
21 |
|
|
||
|
10 |
|
2.1
.
б) Находим критическое значение критерия по таблице 6:
F |
F |
(0.05;19 1;20 1) F |
(0.05;18;19) 2.18. |
кр |
кр |
кр |
|
в) Сравниваем эмпирическое значение критерия с критическим и делаем вывод:
Fэмп Fкр , поэтому принимаем гипотезу о незначимости различий оценок дисперсий на
уровне значимости 0.05:
H |
( p |
0 |
|
0.05)
.
Следовательно, оценки дисперсий статистически равны. 1. Находим, наконец, эмпирическое значение критерия:
tэмп |
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
nx ny |
(nx ny 2) |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
x |
1 s2 n |
y |
1 s2 |
|
|
|
|
|
|
nx ny |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
121 150 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20 |
|
19 |
|
(20 |
|
19 |
|
2) |
|
23.1. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
20 |
1 10 19 |
1 21 |
|
|
|
|
|
|
20 19 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
2. По таблице критических значений распределения Стьюдента (см. таблицу 4)находим критическое значение:
tкр
t |
кр |
(0.05;20 19 2) |
|
|
t |
кр |
(0.05;37) |
|
|
2.03
.
3. Сравниваем эмпирическое значение критерия с критическим и делаем вывод:
tэмп tкр , поэтому принимаем гипотезу о значимости различий оценок математических
ожиданий на уровне значимости 0.05:
H |
( p |
1 |
|
0.05)
.
|
Пример 20. При испытаниях препарата, снижающего систолическое давление были |
||||||||
получены |
следующие |
оценки |
дисперсий: для |
|
экспериментальной |
группы |
|||
( n |
x |
40 ): |
x 121, s2 10 , |
для контрольной группы ( n |
y |
59 ): y 125 , |
s2 21 . |
Прове- |
|
|
|
x |
|
|
|
y |
|
||
рить гипотезу о значимости различий оценок математических ожиданий систолического
55
(
давления экспериментальной и контрольной группы. Уровень значимости принять равным 0.05. Считать распределение признака в выборках нормальным.
Решение:
Перед решением обращаем внимание на то, что обе выборки являются большими nx , ny 30 ), и признак, по условию задачи, распределен нормально, поэтому будем исполь-
зовать t-критерий Стьюдента для сравнения средних для больших выборок. 1. Находим эмпирическое значение критерия:
t |
|
|
x y |
|||
эмп |
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
s |
|
|
|
|
s |
|
||
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
x |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
2 y
y
|
121 125 |
5.14. |
||
10 |
|
21 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
40 |
|
59 |
|
2. По таблице значений функции Лапласа (см. таблицу 2) вычисляем эмпирическое значение критерия на уровне значимости 0.05:
(t |
|
) |
1 0.05 |
0.475 t |
|
1.96 . |
кр |
|
кр |
||||
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||
3. Сравниваем эмпирическое значение критерия с критическим и делаем вывод: |
||||||
tэмп tкр , поэтому принимаем гипотезу о значимости различий оценок математических |
||||||
ожиданий на уровне значимости 0.05: H1( p 0.05) .
56
ГЛАВА 8. НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ КРИТЕРИИ ВЫЯВЛЕНИЯ РАЗЛИЧИЙ В УРОВНЕ
ИССЛЕДУЕМОГО ПРИЗНАКА
8.1. Задачи выявления различий в уровне исследуемого признака. Алгоритм принятия решения о выборе критерия
Одна из наиболее часто встречающихся статистических задач – задача сравнения результатов обследования какого-либо психологического признака в разных условиях измерения (например, до и после определенного воздействия) или обследования контрольной и экспериментальной групп. Помимо этого нередко возникает необходимость оценить характер изменения того или иного психологического показателя в одной или нескольких группах в разные периоды времени или выявить динамику изменения этого показателя под влиянием экспериментальных воздействий. Например, задача определения психологических особенностей хронически больных людей по сравнению со здоровыми, различий между людьми разной национальности, между людьми разного возраста в методе «поперечных срезов». Сопоставление уровневых показателей в разных выборках может быть необходимой частью комплексных диагностических, учебных, психокоррекционных и иных программ. Оно помогает нам обратить внимание на особенности обследованных выборок, которые должны быть учтены и использованы при адаптации программ к данной группе в процессе их конкретного воплощения.
Для решения подобных задач используется достаточно большой набор статистических способов, называемых в наиболее общем виде критериями различий. Эти критерии позволяют оценить степень статистической достоверности различий между разнообразными показателями, измеренными согласно плану проведения исследования. Важно учитывать, что уровень достоверности различий включается в план проведения эксперимента, исследователь при постановке экспериментальной задачи выбирает уровень достоверности различий, который будет считаться приемлемым.
Существует достаточно большое количество критериев различий, каждый из них имеет свою специфику. Одним из оснований выбора необходимого критерия является тип измерительной шкалы, для которой предназначен тот или иной критерий. Критерии различаются также по максимальному объему выборки, который они могут охватить, также по количеству выборок, которые можно сравнивать между собой с их помощью. Выборки могут быть зависимыми или независимыми. Они могут быть взяты из одной или нескольких генеральных совокупностей. Это обстоятельство также влияет на выбор критерия.
Критерии, рассмотренные в этой главе, предполагают, что мы сопоставляем так называемые независимые выборки, состоящие из разных испытуемых. Для сопоставления зависимых выборок служат критерии, рассмотренные в следующей главе.
Решение о выборе того или иного критерия принимается на основе того, сколько выборок сопоставляется и каков их объем.
Можно использовать следующую схему принятия решения о выборе критерия:
57
Сколько выборок со- |
Каков объем |
Рекомендуемый крите- |
Что делать, если различия не |
|
поставляется? |
выборок (n)? |
рий |
выявляются? |
|
|
n1,n2 11, при |
Критерий Розенбаума Q |
|
|
2 выборки |
этом n1 n2 |
Использовать угловое преоб- |
||
|
n1 или n2<11 |
Критерий Манна-Уитни |
разование Фишера |
|
|
U |
|
||
|
|
|
||
|
n 3 |
Критерий Крускала- |
|
|
3 и более выборок |
|
Уоллиса* H |
Использовать угловое преоб- |
|
2≤n≤3 |
Критерий тенденций |
разование Фишера с попар- |
||
|
||||
|
и |
ным сопоставлением групп |
||
|
|
|||
|
Джонкира* S |
|
||
|
3≤с≤10 |
|
||
|
|
|
*Примечание. При рассмотрении 3 и более выборок, предпочтительнее использовать критерий тенденций Джонкира, если это возможно.
8.2. Q-критерий Розенбаума
Назначение критерия: Q-критерий Розенбаума используется для оценки различий между двумя независимыми выборками по уровню какого-либо признака, измеренного в порядковой, интервальной или шкале отношений.
Данный критерий предполагает подсчет так называемых «хвостов», поэтому его иногда называют «критерием хвостов».
Это очень простой непараметрический критерий, однако, если критерий Q не выявляет достоверных различий, это еще не означает, что их действительно нет. Если же Q-критерий выявляет достоверные различия между выборками с уровнем значимости p 0.01, можно ограничиться только им.
Условия применения критерия:
●Признак должен быть измерен в порядковой, интервальной или шкале отношений.
●В каждой из сопоставляемых выборок должно быть не менее 11 наблюдений, при этом их объемы не должны сильно различаться:
○Если в обеих выборках меньше 50 наблюдений, то абсолютная величина разности между объемами не должна быть больше 10.
○Если n1,n2>100, допускается, чтобы одна из выборок была больше другой не более чем в 1.5–2 раза.
●Диапазон разброса значений в одной выборке не должен полностью перекрывать диапазон разброса значений в другой выборке, в таком случае необходимо применять U- критерий Манна – Уитни.
Гипотезы:
●H0: Уровень признака в выборке 1 не превышает уровня признака в выборке 2.
●H1: Уровень признака в выборке 1 превышает уровень признака в выборке 2.
Подсчет критерия Q Розенбаума:
1.Проверить, выполняются ли ограничения: n1, n2 11, n1 n2 .
2.Упорядочить значения отдельно в каждой выборке по степени убывания признака. Назовем выборкой 1 ту, значения которой предположительно выше, а выборкой 2 – ту, где
58
значения предположительно ниже.
3.Определить самое высокое (максимальное) значение в выборке 2 и самое низкое (минимальное) значение в выборке 1.
4.Подсчитать «верхний хвост» – количество значений в выборке 1, которые выше максимального значения в выборке 2. Обозначить полученную величину как S1.
5.Подсчитать «нижний хвост» – количество значений в выборке 2, которые ниже минимального значения выборки 1. Обозначить полученную величину как S2.
6.Подсчитать эмпирическое значение Qэмп как сумму верхнего и нижнего «хво-
стов»: Qэмп=S1+S2.
7.По таблице 10 определить критические значения Qкр для данных n1 и n2. Отметить их на оси значимости, а также эмпирическое значение критерия, и сделать вывод.
8.При n1,n2>26 сопоставить полученное эмпирическое значение с Qкр=8 ( p 0.05 ) и
Qкр=10(
p
0.01
).
8.3. U-критерий Манна-Уитни
Назначение критерия: U-критерий Манна-Уитни предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявить различия между малыми выборками, и является более мощным, чем критерий Розенбаума.
Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами данных, – чем меньше эта область, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами, поэтому, чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия достоверны. Данный критерий является ранговым критерием, он основан на подсчете рангов.
Условия применения критерия:
●В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений: n1,n2≥3, допускается, чтобы
водной выборке было 2 наблюдения, но тогда во второй их должно быть не менее 5.
●В каждой выборке должно быть не более 60 наблюдений; n1,n2≤60. Однако уже при n1,n2>20 ранжирование становится достаточно трудоемким.
●В случае, если n1,n2>20, лучше использовать другой критерий, а именно, угловое преобразование Фишера в комбинации с критерием λ, позволяющим выявить критическую точку, в которой накапливаются максимальные различия между двумя сопоставляемыми выборками.
Гипотезы:
H0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1. H1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Подсчет критерия U Манна-Уитни:
1.Проверить, выполняются ли условия применения критерия.
2.Полученные данные объединить в единый ряд, предварительно пометив относящиеся к каждой выборке данные разным цветом.
3.Упорядочить полученный единый ряд по возрастанию признака.
4.Проранжировать значения, приписывая меньшему значению меньший ранг. Всего рангов получится (n1+ n2).
5.Ориентируясь на цветные обозначения, подсчитать сумму рангов отдельно для выборки 1 и для выборки 2. Проверить, совпадает ли общая сумма рангов с расчетной.
6.Определить большую из двух ранговых сумм.
7.Определить значение Uэмп по формуле:
59
U |
|
(n |
n ) |
n |
x |
(n |
x |
1) |
T |
эмп |
|
|
|
||||||
|
1 |
2 |
|
|
2 |
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где n1 – количество испытуемых в выборке 1; n2 – количество испытуемых в выборке 2; Тx – большая из двух ранговых сумм;
nx – количество испытуемых в группе с большей суммой рангов.
8. Определить критические значения Uкр по таблице 11, отметить их на оси значимости. Критерий U является исключением из общего правила принятия решения о достоверности различий, то есть мы можем говорить о достоверности различий, если Uэмп Uкр . Критиче-
ские значения Uкр(0.01)<Uкр(0.05). Зона значимости располагается слева, а зона незначимости – справа.
9. Отметить на оси значимости эмпирическое значение критерия и сделать вывод.
8.4. H-критерий Крускала-Уоллиса
Назначение критерия: H-критерий Крускала-Уоллиса предназначен для оценки различий одновременно между двумя, тремя, четырьмя и т. д. выборками по уровню какоголибо признака. Он позволяет установить, что уровень признака изменяется при переходе от группы к группе, но не указывает на направление этих изменений.
Условия применения критерия:
●Признак должен быть измерен в порядковой, интервальной или шкале отношений.
●Выборки должны быть независимыми.
●В каждой выборке должно быть не менее 3 наблюдений.
○Возможно, чтобы по крайней мере в одной из них было 4 наблюдения, а в двух других – по 2; при этом не важно, в какой именно выборке сколько испытуемых, а важно соотношение 4:2:2.
○При сопоставлении 3-х выборок допускается, чтобы в одной из них n=3, а в двух других n=2. Но при таких численных составах выборок мы сможем установить различия
лишь на низшем уровне значимости (p ● Критические значения критерия Н дены в таблице 12 (таблица предусмотрена
0.05).
и соответствующие им уровни только для трех выборок и n1,
значимости приве- n2 , n3 5).
● При большем количестве выборок и испытуемых в каждой выборке необходимо пользоваться таблицей критических значений критерия χ2 (см. таблицу 19) Количество степеней свободы при этом определяется по формуле:
f
c
1
,
где с – количество сопоставляемых выборок.
● При множественном сопоставлении выборок достоверные различия между какойлибо конкретной парой (или парами) их могут оказаться стертыми. Это ограничение можно преодолеть, если провести все возможные попарные сопоставления, число которых будет
равняться |
1 |
c (c 1) . Для таких попарных сопоставлений используется, естественно, кри- |
|||
2 |
|||||
|
|
|
|
||
терий для двух выборок, например U или |
* |
. |
|||
|
|||||
Гипотезы:
H0: Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют лишь случайные различия по уровню исследуемого признака.
H1: Между выборками 1, 2, 3 и т. д. существуют неслучайные различия по уровню исследуемого признака.
Подсчет H-критерия Крускала – Уоллиса:
60