Matematicheskaya_statistika_v_meditsine

изойдет в том случае, когда одновременно (совместно) все три таблетки не будут бракован-

Пример 4. Слово «МИР» написали на карточке, которую потом разрезали на буквы, а буквы поместили в непрозрачный ящик. Найти вероятность того, что при последовательном извлечении букв из ящика получится слово «РИМ». Решить задачу с учётом того, что буквы в ящик а) не возвращаются, б) возвращаются.

Решение:

а) Если карточки назад не возвращаются, то вероятность извлечения той или иной буквы будет зависеть от того, какие буквы были извлечены на предыдущих этапах. Таким образом, мы имеем дело с условной вероятностью. Вводим следующие обозначения:

AР={«Была извлечена буква Р»},

AИ={«Была извлечена буква И»},

AМ={«Была извлечена буква М»}.

Вероятности этих событий будут зависеть от того, в каком порядке извлекаются кар-

Используем теорему умножения вероятностей зависимых событий и получим искомую вероятность:

б) Если карточки назад возвращаются, то вероятность извлечения той или иной буквы не зависит от того, какие буквы были извлечены на предыдущих этапах. Таким образом, все буквы будут иметь одинаковую вероятность извлечения. Используем те же обозначения, что и в предыдущем пункте, и опишем событие A . Событие A реализуется в том случае, если вначале будет извлечена буква «Р» (событие AР ), затем буква – «И» (событие AИ ), и по-

том – буква «М» (событие AМ ), т. е. эти события произойдут совместно: A= AР AИ AМ . Находим вероятности событий AР , AИ , AМ :

12

Используем теорему умножения вероятностей совместных событий и получим искомую вероятность:

1.2. Повторные независимые испытания

1.2.1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Говорят, что задача подчиняется схеме Бернулли, если при повторных независимых испытаниях выполняются следующие условия:

1.число испытаний n конечно;

2.каждое испытание имеет только два исхода: первый – событие А осуществилось, и второй – событие А не осуществилось;

3.все испытания независимые;

4.вероятность появления события А в каждом испытании постоянна.

Если при выполнении n независимых повторных испытаний вероятность осуществления события А в каждом отдельном испытании равна p (вероятность противоположного события равна q=1–p), то вероятность осуществления события А ровно m раз в n испытаниях выражается формулой Бернулли:

1.2.2. Локальная теорема Муавра – Лапласа.

Если вероятность осуществления некоторого события А в n испытаниях постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность pn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А осуществится ровно m раз, приближенно равна (тем точнее, чем больше n) значению функции:

1.2.3. Формула Пуассона

Если n велико, но при этом вероятность p события мала (p≤0.1). В этом случае пользуются асимптотической формулой Пуассона (законом редких событий):

pn (m) m e m!

где: np . Приближенное правило применения формулы Пуассона состоит в том, что n должно быть не меньше нескольких десятков, а лучше сотен, значение параметра μ должно

13

находиться между 0 и 10. При больших μ рекомендуется применять теорему Муавра – Лапласа.

Примеры решения задач

Пример 5. Вероятность выигрыша одного лотерейного билета равна 0.25. Найти вероятность того, что 4-х билетов выигрышным окажется а) один, б) хотя бы один.

Решение:

а) Заметим, что данную задачу можно решить, используя теоремы сложения и умножения, однако технически быстрее решить данную задачу с помощью формулы Бернулли. Предварительно убедимся в том, что условие задачи удовлетворяет схеме Бернулли:

1. Число испытаний конечно – в нашем случае это число равно количеству лотерейных билетов ( n = 4 ).

2. В единичном испытании возможны только 2 исхода: либо событие A происходит, либо не происходит. В нашем случае либо один билет выигрывает, либо – нет.

3. В каждом единичном испытании вероятность события A остаётся постоянной. В нашем случае каждый билет имеет одинаковую вероятность выигрыша равную p = 0.25 .

4. События в каждом испытании являются независимыми. В нашем случае выигрыш или проигрыш отдельного билета не зависит от того, как сыграли другие билеты.

Так как все требования выполняются, то данная задача удовлетворяет схеме Бернулли. Будем использовать формулу Бернулли:

б) Выражение «выиграет хотя бы один билет» означает, что из 4 билетов выиграют или

1 2 3 4 0.25 0.753 = 0.42, 1 1 2 3

14

Так как все условия соблюдены, то можно использовать формулу Бернулли. Однако при попытке её использовать возникают проблемы вычислительного характера:

вольно трудно, поэтому будем использовать один из предельных случаев теоремы Бернулли: либо локальную теорему Муавра – Лапласа, либо формулу Пуассона. В литературе встречаются различные рекомендации по способам выбора той или иной формулы. Будем использовать следующие правила выбора формул:

npq = 100 0.46 0.54 25 >10 , поэтому будем использовать локальную теорему Муавра –

Наконец, по локальной теореме Муавра – Лапласа находим искомую вероятность:

жутся а) двое, б) хотя бы 1.

Решение:

а) Убедимся, что условие задачи соответствует схеме Бернулли:

нашем случае для каждого жителя по условию задачи вероятность заражения остаётся по-

4. События в каждом испытании являются независимыми. В нашем случае по условию задачи вероятность заражения для каждого жителя не зависит от того, заражены ли остальные.

Так как все условия соблюдены, то можно использовать формулу Бернулли. Однако при попытке её использовать возникают проблемы вычислительного характера:

* Отметим, что функция φ(x) является чётной, т. е. φ(–x)= φ(x). Например, φ(–0.8)= φ(0.8)

16

Вычислить такие факториалы и степени довольно трудно, поэтому будем использовать один из предельных случаев теоремы Бернулли: либо формулу Муавра – Лапласа, либо формулу Пуассона. Так как np = 1000 0.001= 1 и p = 0.001< 0.1, то будем использовать фор-

ем сейчас формулу Пуассона:

Pn m λm e λ . Подставляя числа m = 2 , λ = 1 , получаем искомую вероятность: m!

б) Условие «хотя бы 1 житель окажется болен» обозначает, что больными окажутся 1 житель, 2 жителя, 3 жителя и т. д. до 1000. Находить вероятности всех указанных событий затруднительно, поэтому будем использовать решение с помощью противоположного события. Событием противоположным событию «хотя бы 1 житель окажется болен» является событие «ни один житель не является больным». Вводим обозначения:

A0={«Ни один житель не является больным»}, A≥1={«Хотя бы один житель является больным»}.

Так как эти события являются противоположными, то их вероятности связаны формулой: P A 1 =1 P A0 . Для нахождения вероятности P A0 используем формулу Пуассона:

17

При этом сумма всех вероятностей pi должна быть равна 1 (условие нормировки):

2.3. Функция распределения дискретной случайной величины.

Рассмотрим вероятность того, что случайная величина X окажется меньше некоторого заданного числа x:

P(X x) F(x)

Эта вероятность называется функцией распределения вероятностей случайной ве-

личины X (или интегральной функцией распределения).

Функция распределения вероятностей случайной величины X вполне определяет эту случайную величину. Она может быть использована для записи распределений как непрерывных (на графике будет плавной кривой), так и дискретных случайных величин (на графике будет ступенчатой линией).

Свойства функции распределения:

между значениями функции распределения в правом и левом концах интервала:

чин: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение

Характеристики положения:

1. Математическое ожидание является центром распределения, обозначается М(X) или μ и вычисляется по формуле:

2.Модой Мо(X) называют такое значение случайной величины X, для которого соседние значения величины X имеют вероятности, меньше, чем для данного. Распределения СВ могут быть одно-, двух-, а также многомодальными.

3.Медианой Ме(X) называют такое значение X, которое делит все распределение на две равновероятные части:

Если распределение СВ одномодальное и симметрично, то М(X), Мо(X), Ме(X) совпадают.

Характеристики рассеяния:

1. Дисперсия D(X) или σ2 – математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины X от ее математического ожидания:

Дисперсия характеризует меру разброса значений случайной величины относительно ее центра распределения (математического ожидания). D(X) имеет размерность квадрата случайной величины.

2. Среднее квадратическое отклонение σ:

D( X )

Среднее квадратическое отклонение также характеризует рассеяние случайной величины, размерность величины σ совпадает с размерностью величины X.

Примеры решения задач Пример 8. Дискретная случайная величина задана следующим законом распределения:

52 0.1 1.82 2.76.

г) Среднее квадратическое отклонение найдем по формуле:

20