Kompendium_po_biofizike_1
.pdf
|
Тормозное |
и |
характеристическое |
|
|
|
рентгеновское излучение. его свойства и |
|
|||
|
использование в медицине |
|
|
239 |
|
1. |
Рентгеновское излучение: характеристическое и |
|
|||
тормозное. Закон Мозли ............................................................................ |
|
|
239 |
||
2. |
Основные свойства и характеристики рентгеновского |
|
|||
излучения ..................................................................................................... |
|
|
|
239 |
|
3. |
Устройство простейших рентгеновских аппаратов ............................ |
240 |
|||
4. |
Закон ослабления потока рентгеновского излучения ......................... |
241 |
|||
5. |
Физические основы применения рентгеновского излучения |
|
|||
в медицине ................................................................................................... |
|
|
|
241 |
|
6. |
Методы защиты от рентгеновского излучения ................................... |
|
245 |
||
7. |
Основы рентгеновской компьютерной томографии........................... |
245 |
|||
|
Явление |
радиоактивного |
распада. |
|
|
|
Ипользование радионуклидов в медицине |
|
249 |
||
1. |
Радиоактивность. Виды радиоактивного распада............................... |
249 |
|||
2. |
Спектры -, - и -излучений................................................................ |
|
|
250 |
|
3. |
Методы получения радионуклидов. Использование |
|
|||
радионуклидов в медицине........................................................................ |
|
|
250 |
||
4. |
Методы регистрации ионизирующих излучений. |
|
|||
Дозиметрические и радиометрические приборы. ................................... |
|
251 |
|||
|
Основы |
дозиметрии |
ионизирующих |
|
|
|
излучений |
|
|
|
254 |
1. |
Взаимодействие ионизирующих излучений (ИИ) с |
|
|||
веществом (когерентное рассеяние, некогерентное рассеяние, |
|
||||
фотоэффект, аннигиляция) ........................................................................ |
|
|
254 |
||
2. |
Количественные характеристики взаимодействия ИИ с |
|
|||
веществом (удельная ионизация, удельные ионизационные |
|
||||
потери, полный пробег частиц)................................................................. |
|
|
254 |
||
3. |
Особенности взаимодействия с веществом -, |
- и - |
|
||
излучений и нейтронов. Физические принципы защиты от |
|
||||
ИИ................................................................................................................. |
|
|
|
255 |
|
4. |
Основные биологические эффекты при действии ИИ ....................... |
256 |
|||
5. |
Поглощенная, экспозиционная и эквивалентная дозы. |
|
|||
Мощность дозы. Связь мощности дозы с активностью |
|
||||
источника ИИ .............................................................................................. |
|
|
|
256 |
|
6. |
Естественный радиационный фон. Техногенный фон ....................... |
260 |
|||
|
|
|
|
|
11 |
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
1.Механические колебания: гармонические, затухающие
Под колебанием подразумевают периодическое изменение состояния тела или системы: это обозначает, что тело или система через один и тот же промежуток времени (период) возвращается в начальное состояние.
Под механическим колебанием понимают такое движение тела, при котором тело проходит через одно и то же положение в пространстве через некоторый промежуток времени.
Отклонение тела от некоторого положения (чаще всего положения равновесия) называют смещением
Для того чтобы возникли механические колебания, необходимо выполнение двух условий:
1.Наличие упругой (квазиупругой) силы – т.е. силы, направленной против смещения тела, и пропорциональной смещению.
2.Колеблющееся тело должно обладать массой. Гармоническими называются такие механические колебания,
при которых смещение тела изменяется по гармоническому (синусоидальному или косинусоидальному) закону с течением времени. Уравнение таких колебаний имеет вид:
|
|
x(t) Acos( |
0t 0 ) , где x(t) |
– смещение тела в момент |
||||||||||||||
времени t , A – |
амплитуда смещения (максимальное смещение |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела от положения равновесия), |
0 |
2 / |
|
0 – |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
собственная |
круговая |
частота |
колебаний |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(число колебаний за |
2 |
секунд), |
0 |
– |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальная фаза колебания (характеристика |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонения тела от положения равновесия в |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
начальный момент времени). График таких |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний представлен на рисунке 1: |
|
|
|||||||
|
|
Рисунок 1. График |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
Следует отметить, что круговая частота |
|||||||||||||
|
|
гармонического |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
собственных |
колебаний |
определяется |
|
по |
||||||||
|
|
колебания |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
формуле: |
|
k / m , где |
k – |
коэффициент |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0
упругости, m – масса тела.
12
Затухающими называются такие колебания, которые характеризуются наличием трения. Затухающие колебания описываются уравнением:
|
|
x(t) Ae |
t cos( |
t |
0. ) , |
|
где |
|
r /(2m) |
– |
показатель |
||||||
затухания ( r |
– |
|
|
коэффициент |
трения, |
m |
|
– |
масса |
тела), |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
– |
частота |
затухающих |
||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебаний. |
|
График |
таких |
колебаний |
||||||||
|
|
|
|
|
представлен на рисунке |
|
2 |
(для |
случая |
||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
2 ). |
|
Как |
видно |
из |
этого рисунка, с |
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
течением |
|
времени |
амплитуда |
затухающих |
||||||||
|
|
|
|
|
колебаний |
экспоненциально |
уменьшается. В |
||||||||||
Рисунок 2. График |
|
случае |
|
2 |
|
2 |
будет |
наблюдаться т.н. |
|||||||||
|
0 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
затухающего |
|
|
апериодическое движение – колебания вообще |
||||||||||||
|
|
колебания |
|
|
не будут возникать. |
|
|
|
|
|
|
Для описания процесса затухания колебаний удобно использовать величину под названием логарифмический декремент затухания, который вычисляется по формуле:
|
|
T , где T |
2 / |
– период затухающих колебаний. |
|
||||||||||
|
2. Энергия гармонических колебаний |
|
|
|
|
||||||||||
|
Пусть тело совершает гармонические колебания по закону: |
||||||||||||||
x(t) Asin( |
0t |
0 ) . |
Найдѐм |
|
скорость |
тела, |
используя |
||||||||
физический |
|
|
смысл |
|
производной: |
dx(t) |
v(t) . |
||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
dt |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
v(t) |
|
dx(t) |
|
|
d |
Asin( |
0t |
0 ) |
|
A |
0 cos( 0t |
0 ) . |
|
|
Тогда, |
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна:
E |
|
|
mv 2 |
|
|
m2 A2 |
0 |
2 cos2 ( |
0t 0 ) |
. |
||
k |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Потенциальная энергия такого тела будет определяться по |
||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
E |
|
|
kx2 |
|
|
k 2 A2 sin 2 ( 0t |
0 ) |
. |
|
|||
п |
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13 |
Как видно из последних двух формул, кинетическая и потенциальная энергии тела будут изменяться с течением времени в противофазе: увеличение одной будет вызывать уменьшение другой.
Найдем полную энергию тела:
|
|
|
E |
|
Eп |
Eк |
|
kx2 |
|
|
mv 2 |
|
|
k 2 A2 sin 2 ( |
0t |
0 ) |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
m2 A2 |
0 |
2 cos2 ( |
|
0t |
|
|
0 ) |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
k 2 |
, |
k 2 |
|
2 m2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
m2 |
0 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
2 m2 A2 sin 2 ( |
|
|
|
0t |
|
|
0 ) |
|
|
|
0 |
2 m2 A2 cos2 ( |
0t |
0 ) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 m2 A2 |
sin |
2 |
( |
|
0t |
0 ) |
|
cos |
2 |
( 0t |
|
0 ) |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
( |
0t |
|
|
0 ) cos |
2 |
( |
|
0t |
0 ) |
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
2 m2 A2 |
const E(t) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, полная энергия гармонически колеблющегося тела остаѐтся постоянной во времени величиной, т.е. сохраняется. При гармонических колебаниях происходит лишь переход одного вида энергии в другой.
3. Вынужденные колебания. Резонанс. Автоколебания
Вынужденными колебаниями называются колебания, происходящие под действием внешней периодической силы.
Если на тело воздействует внешняя периодическая сила, изменяющаяся с течением времени по закону F(t) Fm sin( t) , то через некоторое время (называемое временем переходного процесса) тело будет совершать вынужденные колебания с частотой внешней силы по закону:
x(t) ), где Aвын – амплитуда вынужденных колебаний, – их фаза.
Амплитуда и фаза вынужденных колебаний определяются по формулам:
14
Aвын |
|
|
|
Fm |
|
|
|
|
|
, |
|
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||
m |
2 |
2 |
2 |
4 |
2 |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Как видно |
из |
формулы |
|
|
для |
амплитуды вынужденных |
колебаний, она будет зависеть от собственной частоты колебаний, частоты внешней периодической силы и коэффициента затухания. Частота, при которой амплитуда вынужденных колебаний будет максимальной, называется
резонансной |
частотой; |
она |
определяется |
из |
условия |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 , при |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
этой |
частоте |
A |
|
|
m |
|
|
. |
||
р |
0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
вын |
|
2 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Явления достижения амплитудой вынужденных колебаний своего максимального значения называется резонансом.
4. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой и во взаимно перпендикулярных направлениях
Тело может принимать участие одновременно в нескольких колебательных движениях. Рассмотрим простейшие случаи сложений колебаний.
Тело принимает участие в двух колебательных движениях, совершаемых вдоль одной прямой и с одной частотой:
x1 |
A1 cos( t |
1 ) |
и x2 |
A2 cos( t |
1 ) . Тогда при сложении |
получим: |
|
|
|
|
|
x |
x1 x2 |
A1 cos( |
t |
1 ) A2 cos( t |
2 ) Acos( t ). Для |
A
t
О Acos t Х
Рисунок 3. Векторное представление колебания
определения фазы и амплитуды результирующего колебания используем метод векторных диаграмм. Метод векторных диаграмм основан на том, что смещение тела при колебаниях может быть представлено как
изменение с течением времени проекции вращающегося вектора на некоторую ось. Т.е. если вектор
15
длиной A совершает вращение вокруг некоторой точки О со скоростью , то проекция вектора на некоторую ось ОХ будет изменяться по закону: x A cos t (см. рисунок 3):
|
Изобразим |
на |
|
|
векторной |
|
диаграмме |
|
|
вектора, |
|||||||||||||
соответствующие колебаниям для x1 |
|
и x2 |
(см. рисунок 4). Так как |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
частота колебаний одинакова, то |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
углы |
|
между |
векторами |
|
|
будут |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
постоянными. Угол |
может быть |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
найден |
|
по |
|
формуле: |
|
|
|
2 1. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда амплитуда результирующего |
|||||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
колебания может быть найдена по |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
теореме косинусов: |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
A1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
A1 |
|
A2 |
|
2A1 A2 cos |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
2 |
|
A 2 |
|
2A A cos( |
2 |
|
1 |
) . |
||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Как видно из последней формулы |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
О |
|
|
|
Х |
|
результат сложения колебаний будет |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
зависеть от разности фаз колебаний. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Рисунок 4. Векторная |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
Рассмотрим два случая: |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
диаграмма сложения |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1. |
|
|
|
2k |
, k 0,1,..., – вектора |
||||||||||||||
|
|
|
колебаний |
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
направлены |
|
параллельно, |
|
|
тогда |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
амплитуда будет максимальной. |
||||||||||||||
3. |
2 |
1 |
2k |
1 |
, k 0,1,... |
|
– |
вектора |
направлены |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
антипараллельно, тогда амплитуда будет минимальной. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
Обобщая можно сказать, что разность фаз и амплитуды |
||||||||||||||||||||||
складываемых |
колебаний |
|
|
определяют |
амплитуду |
||||||||||||||||||
результирующего колебания. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Фаза результирующего колебания будет определяться по |
||||||||||||||||||||||
формуле: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
arctg |
A1 sin |
1 |
|
A2 sin |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
A1 cos |
1 |
|
A1 cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При сложении колебаний с примерно равными частотами в результате образуются колебания с медленно гармонически изменяющейся амплитудой – биения.
Тело принимает участие в двух колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях, с одинаковой
16
частотой: |
x |
Ax cos( |
t |
x ) |
и y |
Ay cos( |
t |
y ) . В результате |
|||||||
колеблющееся тело будет описывать в пространстве кривую – |
|||||||||||||||
эллипс, определяемый уравнением: |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 2 |
y 2 |
2 |
xy |
cos( x |
y ) |
sin 2 ( x |
|
y ) . |
|
|
|
||||
A 2 |
A |
2 |
Ax Ay |
|
|
|
|
||||||||
x |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В зависимости от соотношения фаз и амплитуд суммируемых |
|||||||||||||||
колебаний получают частные случаи эллипса: окружность, |
|||||||||||||||
отрезок прямой. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
При сложении взаимно перпендикулярных колебаний с |
|||||||||||||||
разными частотами получают сложные траектории движения |
|||||||||||||||
колеблющегося тела – т.н. фигуры Лиссажу. |
|
|
|
|
|||||||||||
5. Сложные колебания. Гармонический спектр сложных |
|||||||||||||||
колебаний, теорема Фурье. Разложение колебаний в |
|||||||||||||||
гармонический спектр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Колебание, отличное от гармонического, будем считать |
|||||||||||||||
сложным. Согласно теореме Фурье, сложное колебание может |
|||||||||||||||
быть представлено в виде суммы гармонических колебаний с |
|||||||||||||||
кратными частотами – т.н. гармоник: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x(t) |
A0 |
A1 cos( |
t |
1 ) |
A2 cos(2 |
t |
2 ) |
A3 cos(3 t |
3 ) ... |
||||||
A0 |
|
Ak cos(k |
t |
k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
этой |
формуле |
A0 |
– |
|||
|
|
|
|
|
|
|
постоянная составляющая, A1 , A2 , |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
A3 , …, – амплитуды 1-й, 2-й, 3-й и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т.д. гармоник, |
, 2 ,3 , …, – |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
круговые частоты 1-й, 2-й, 3-й и |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
т.д. гармоник, |
1 , |
2 , |
3 , …, |
– |
||||
|
|
|
|
|
|
|
начальные фазы 1-й, 2-й, 3-й и т.д. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
гармоник. |
|
|
|
|
|
|||
Рисунок 5. Представление |
|
|
Гармоника |
с |
минимальной |
||||||||||
|
частотой |
называется |
основной |
||||||||||||
сложного колебания суммой |
|||||||||||||||
гармоникой, |
|
остальные |
– |
||||||||||||
гармонических |
|
|
|
||||||||||||
|
|
дополнительными. |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
Для данного сложного колебания набор гармоник с известными характеристиками (амплитудами, частотами, фазами)
называется спектром. А сам процесс |
нахождения гармоник |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называется |
|
спектральным |
|
A |
A1 |
(гармоническим) анализом. |
||||||||
|
На рисунке 5 |
представлен |
|||||||||
|
|
|
|
|
A2 |
||||||
|
|
|
|
|
график |
сложного |
колебания, |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
состоящего из двух гармоник: |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
сплошная линия – график сложного |
||
|
|
2 |
|
колебания, пунктирные линии – |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
графики 1-й и 2-й гармоники. |
||
|
|
Наиболее |
удобным |
||||||||
|
Рисунок 6. Спектр колебания, |
||||||||||
|
состоящего из двух гармоник |
преставлением спектра является |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
графическое представление: по оси |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
абсцисс откладываются частоты гармоник, по оси ординат – их амплитуды (см. рисунок 6).
6. Механические волны, их виды и скорость распространения
Под механической волной понимают механическое колебание, распространяющееся в среде. Также механическую волну определяют как перенос энергии в среде без переноса частиц среды. Механические волны возникают из-за того, что частицы среду связаны друг с другом силами упругости, и выведение из положения равновесия одной частицы вызывает смещение соседних частиц.
Механические волны можно разделить на продольные и поперечные, а также поверхностные. В продольных волнах колебания частиц среды происходят вдоль направления распространения волны (волны сжатия и разрежения). В поперечных – колебания частиц среды происходят перпендикулярно направлению распространения. Поверхностные волны являются своеобразной комбинацией из продольных и поперечных волн, быстро затухающими вглубь среды.
Звуковые волны в воздухе являются примерами продольных волн, поперечные и поверхностные волны в металлах и на их
18
поверхности являются примерами соответственно поперечных и поверхностных волн.
Скорость, с которой возмущение распространяется в среде, называют скоростью волны. Если волна монохроматическая (т.е. может быть представлена одним гармоническим колебанием), то корректнее еѐ скорость называть фазовой скоростью, т.е. скоростью распространения фиксированной фазы колебания в среде. Если в некоторой среде возможно образование продольных и поперечных волн (например, в металле), то в таком случае для данной среды скорость продольных волн больше скорости поперечных.
7. Уравнение волны. Энергетические характеристики волны
Уравнение волны описывает смещение s(x, t) в некоторой точке среды с координатой x в момент времени t . Простейшим уравнением волны является уравнение плоской бегущей монохроматической волны, имеющее вид:
s(x, t) A cos t |
x |
, где |
A – амплитуда смещения, |
– |
|
v |
|||||
|
|
|
|
круговая частота колебаний в волне, v – фазовая скорость волны.
Выражение t |
x |
называют фазой волны |
|
|
|||
v |
|||
|
|
Множество точек волны, имеющих одну фазу (или колеблющихся в одной фазе), называют волновым фронтом. Длиной волны называют расстояние между двумя точками волны, разность фаз для которых равна 2 . Также длина волны равна расстоянию, которое проходит волна за время, равное
одному периоду колебаний: |
vT . |
Как уже упоминалось |
ранее, механическая волна есть |
процесс переноса энергии в среде, без перемещения частиц среды, поэтому волна имеет энергетические характеристики; рассмотрим их:
Поток энергии: E / t Вт – отношение энергии, проходящей через некоторую площадку, ко времени, в течение которого она через эту площадку проходила.
19
Объемная плотность энергии: |
w |
E |
|
Вт |
– количество |
|
|
|
|||
V |
|
м3 |
|||
|
|
|
|
энергии, приходящееся на единицу объема среды, в которой происходит перенос энергии.
Интенсивность: |
I |
|
|
1 dE |
|
Вт |
– отношение потока |
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
S S dt |
|
м2 |
|||||||
|
|
|
|
энергии, нормально проходящего через площадь, к этой площади.
Эти величины |
связаны следующими |
соотношениями: |
|||
wSv , I |
|
|
|
|
|
/ S wv , I |
|
wv |
|
||
Вектор |
|
|
, |
показывающий |
направление |
I |
wv |
распространения энергии в среде, называется вектором Умова. Для упругих волн этот вектор может быть вычислен по формуле:
|
A2 2 |
||
I |
|
v . |
|
2 |
|||
|
|
20