ФАН / Курс лекций (ВИ Белько) / Лекция9
.pdf
Значит, в разложении элемента x в
сумму |
n |
|
|
x ck ek |
(x Sn ) |
|
k 1 |
|
все слагаемые ортогональны и по
теореме Пифагора
|
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
2 |
|
|
x |
|
|
ck |
|
x Sn |
|
(*) |
|||
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
|
n 2 2
ck x
k 1
Значит, ряд ck 2
k 1
сходится
причем справедливо неравенство
Бесселя: |
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
ck |
|
x |
|
||
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
2. Покажем, что последовательность
частных сумм является
последовательностью Коши. Для n>m имеем
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
2 |
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Sn Sm |
|
|
|
2 |
|
|
ck ek |
|
|
|
|
ck |
|
2 0, n, m |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k m1 |
|
|
k m 1 |
|
|
||
Пространство H полно, поэтому ряд
ck ek сходится к элементу из L
k 1
|
|
3. Пусть |
S ck ek |
|
k 1 |
|
|
(x S, ej ) |
(x, ej ) (S, ej ) c j ck (ek , ej ) |
|
k 1 |
cj cj 0
т.е. вектор x-S ортогонален
подпространству, порожденному
системой (en).
4. Переходя к пределу в равенстве
(*) получим |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
2 |
|
ck |
2 |
|
x S |
|
2 |
|
|
|
|
|
k 1 |
|
|
|
|
|
|
откуда видно, что равенство
Парсеваля-Стеклова |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
ck |
|
2 |
|
|
|
x |
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k 1 |
|
|
|
|
x S |
|
|
|
0 |
|||||||||||
эквивалентно тому, что |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следствие. Отрезок ряда Фурье обладает экстремальным свойством:
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ck ek |
|
inf |
|
|
x l |
|
|
|
|
1 |
|
l L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где L – подпространство,
порожденное векторами (e1,… en).
Система векторов, полученная
после ортогонализации набора
элементарных многочленов в
пространстве L2[-1,1]
|
|
|
|
|
|
|
|
P (t) |
|
2n 1 d n |
(t 2 1)n , n 0,1, 2,... |
||||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
n |
n!22 |
2 dtn |
|
||||
|
|
||||||
Эти многочлены пропорциональны
полиномам Лежандра
L (t) |
1 |
|
d n |
(t 2 1)n |
|
|
|
||
|
|
|
||
n |
n!2n dtn |
|
||
|
|
|||
Произвольная функция из L2[-1,1]
разлагается в ряд по полиномам Лежандра
|
|
|
|
|
x(t) ck Lk (t) |
|
|
|
|
k 0 |
|
2k 1 |
1 |
|
|
|
|||
ck |
|
|
x(t)Lk (t)dt |
|
2 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Теорема Банаха-Штейнгауза.
Теорема 1. Пусть X – банахово пространство, Y – НВП, M –
множество ограниченных линейных
операторов |
M L(X ,Y ) |
такое, что
x X CX 0 такая,что
Ax
CX A M
Тогда M – ограниченное множество,
то есть
C : A C A M
|
A |
|
|
|
sup |
|
|
|
|
|
|
Ax |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
условие |
|
|
C эквивалентно тому, что |
|||||||||||||||||
|
A |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax
C если 
x
1
Таким образом, нужно доказать,
что множество чисел вида
V {
Ax
x
1; A M} ограничено
т.е. нормы 
Ax
ограничены в
совокупности на единичном шаре.
Покажем, что если нормы 
Ay 
ограничены постоянной C0 на какомнибудь шаре B[y0,r0], то
Ax
ограничены на единичном шаре.
Действительно,
x
1 x 1/ r0 ( y y0 )
где y B[ y0 , r0 ]
Тогда 
Ax
(1/ r0 )(
Ay
Ay0 
)(1/ r0 )(C0 C0 ) C
Предположим теперь, что множество V неограничено. Тогда по доказанному множество чисел 
Ax
не ограничено на каждом замкнутом
шаре ненулевого радиуса и, в частности, не ограничено на каждом открытом шаре.
Возьмем произвольный шар B[x0,r0]. Так как на открытом шаре B(x0,r0) множество норм не ограничено в совокупности, то
A1 M , x1 B(x0 , r0 ) такие, что
A1 x1 
1
В силу непрерывности оператора A1
существует шар B[ x1,r1] такой, что
A1 x
1 x B[x1 , r1 ]
Для достаточно малого r1
r1 r0 |
|
|
имеем |
|
|
x1 x0 |
|
||
B[x1 , r1 ] B[x0 , r0 ]
Потребуем также r1 r0 / 2
Далее берем шар B[ x1,r1] и находим оператор A2 и шар B[ x2,r2] такие, что
A2 x
2 x B[x2 , r2 ]
B[x2 , r2 ] B[x1 , r1 ]
r2 r0 / 22
Продолжая данный процесс,
получаем последовательность
замкнутых вложенных шаров B[ xk,rk]
такую, что rk 0
Ak x
k x B[xk , rk ]
По теореме о вложенных шарах
существует точка x*, принадлежащая
каждому из шаров B[ xk,rk]. Тогда
Ak x *
k
А это значит, что множество
чисел 
Ak x *
не ограничено в
совокупности, что противоречит
условию теоремы.
Следствие 1. Пусть X – банахово
пространство, Y – НВП. Если
последовательность операторов
An из L(X,Y) сильно сходится к
оператору A, то
1)An ограничена по норме;
2)оператор A ограничен.
Зафиксируем x. Поскольку Anx –
сходящаяся последовательность |
||
векторов, то выполняется |
|
|
неравенство |
An x Cx |
|
|
C |
|
Тогда по теореме Б.-Ш. An |
||
Получаем неравенство 
An x
C
x
Переходя к пределу, доказываем, что оператор A ограничен.