5.6. Линейное программирование и область его применения в анализе.

Линейное программирование является одним из разделов математического программирования, который посвящен теории и методам решения задач об экстремумах линейных функций на множествах, задаваемых системами линейных равенств и неравенств. Задачи линейного программирования являются моделями многих задач по анализу хозяйственной деятельности. К ним относятся задачи:

- по определению оптимального ассортимента продукции при наиболее рациональном использовании трудовых, материальных и других ресурсов;

- по максимальной загрузке оборудования;

- по получению максимальной прибыли.

Составление математической модели начинают с подбора показателей и обозначения переменных, совокупность которых однозначно определяет один из вариантов процесса. Затем строится целевая функция, которая в математической форме отражает критерий выбора наилучшего варианта изучаемого экономического процесса или явления. После этого составляется система ограничений по имеющимся ресурсам.

Типичным примером задачи линейного программирования может служить следующая задача, описанная в общем виде: необходимо определить такой ассортимент выпуска продукции, при котором прибыль будет максимальной при имеющихся ресурсах.

Введем обозначения. Пусть x_i – количество продукции i-го вида, выраженное в натуральном измерении. Тогда целевая функция будет иметь следующий вид:

n

у = Σ П_i x_{i max,}

i=1

а система ограничений

_,

где Пi - прибыль от реализации единицы продукции i- го вида;

а_ij - норма расхода j–го вида сырья на единицу i-го вида продукции;

z_j - совокупные затраты j-го вида сырья,

j- индекс вида сырья (j = 1:m)

i- индекс вида продукции( I = 1:n).

Наиболее распространенным методом решения задач линейного программирования является симплексный метод, позволяющий получить оптимальное решение путем целенаправленного перебора допустимых вариантов. При каждом расчете определяется новое допустимое базисное решение, которому соответствует значение функции, лучшее, чем ее значение в предыдущем расчете. В результате составления таких последовательных вариантов через определенное количество «шагов» получают оптимальный вариант, т.е. такую систему значений переменных, при которых целевая функция достигает экстремума.

Рассмотрим пример.

Пусть для изготовления 2-х видов продукции используется 3 вида сырья. Необходимо определить такой ассортимент продукции, при котором прибыль будет максимальной.

Таблица 2 – Исходные данные

Вид сырья	Количество (запасы) сырья	Норма расхода на 1 изделие
		изделие А	изделие Б
Первый Второй Третий	24 12 30	2 1 3	1 2 0
Прибыль на единицу, тыс. руб.		8	3

Обозначим через x количество продукции i-го вида, шт.

Составляем целевую функцию

8x + 3x мах

Составляем систему ограничений:

5.7. Теория массового обслуживания и ее применение в анализе хозяйственной деятельности.

Теория массового обслуживания (теория очередей) используется для анализа процессов и явлений, связанных с массовым обслуживанием. Она применяется при исследовании явлений вероятностного характера, когда наступление каждого события определено не строго, а имеет некоторую вероятность.

Система массового обслуживания – поступление в массовом порядке заявок на обслуживание с последующим их выполнением. В промышленном производстве, например, это поступление сырья, материалов, полуфабрикатов на склад и выдача их со склада; обработка широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организация наладки и ремонта оборудования; планирование резервных и страховых запасов ресурсов; определение оптимальной численности штата отделов и служб предприятия.

Основными элементами системы массового обслуживания являются:

1. источники заявок;

2. входящий поток заявок;

3. каналы обслуживания;

4. выходящий поток.

Входящий поток Очередь Каналы обслуживания Выходящий требований поток

При наличии одного канала обслуживания система называется одноканальной, а если их несколько – многоканальной.

В зависимости от характера формирования очереди различают системы обслуживания:

• с отказами;

• с неограниченной очередью;

• смешанного типа.

1-й тип систем имеет место, если формирование очереди не разрешено, т.е. заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ.

2-й тип систем предполагает очередь неограниченной длины. При этом время ожидания может оказаться продолжительным.

При 3-м типе систем возможны различные ограничения, например, на максимальную длину очереди, на время пребывания заявки в очереди и т.д.

Основная задача теории массового обслуживания – выявить зависимость показателей эффективности системы от характера входящего потока; от ограничения очереди; от количества, производительности и условий функционирования каналов с целью последующей их оптимизации.

В качестве критериев оптимальности применяют:

• максимум прибыли от эксплуатации системы;

• минимум потерь, связанных с простоем каналов и уходом необслуженных заявок;

• обеспечение заданной пропускной способности.

Решение задач теории массового обслуживания осуществляют с помощью специального математического аппарата.

Сущность задачи теории массового обслуживания можно рассмотреть на условном примере оптимизации затрат при различном количестве кладовщиков в инструментально - раздаточной кладовой. С одной стороны, большое количество кладовщиков сокращает потери времени рабочих в ожидании получения или замены инструмента, с другой – увеличивает затраты на содержание кладовой (в частности, за счет зарплаты кладовщиков). Поэтому необходимо определить при каком количестве кладовщиков сумма расходов на содержание кладовой и потери рабочего времени будут минимальными.

Расчетные данные, данные наблюдений и хронометраж времени представлены в таблице 3.

Таблица 3 – Расчет вариантов затрат при различном количестве кладовщиков

Показатель	Количество кладовщиков в сменах, чел.
	1	2	3	4
1.Среднее количество замен и выдачи инструмента в течение смены	150	150	150	150
2.Средняя продолжительность времени нахождения рабочего в очереди, мин.	9	6	3	2
3.Потери времени рабочих в очереди, час. (n. 1 × n. 2)/60	22,5	15	7,5	5
4.Среднечасовая ставка оплаты рабочего, тыс. руб.	4,4	4,4	4,4	4,4
5.Сумма заработка рабочих за время простоев в очереди, тыс. руб.	99,0	66,0	33,0	22,0
6.Среднечасовая ставка оплаты кладовщиков, тыс. руб.	2,6	2,6	2,6	2,6
7.Заработная плата кладовщиков за смену, тыс.руб.	20,8	41,6	62,4	83,2
8.Всего расходов (п.5+п.7), тыс.руб.	119,8	107,6	95,4	105,2

Этот расчет показывает, что оптимальный вариант штата кладовщиков – 3 человека. В этом случае сумма расходов минимальная и составляет 95,4 тыс.руб.