Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Гродненский государственный университет им. Я. Купалы

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Например, матрица A = 0

является ступенчатой.

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

18.02.2016

Размер:

661 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Минором элемента aij определителя третьего порядка называется оп-

ределитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Минор элемента aij обозначают Mij .

Пример 3. Для определителя															1	2		3	записать M12 , M22 , M31.
Пример 3. Для определителя															−2	0		1	записать M12 , M22 , M31.
															3	−1		0
Решение.
M	=		−2 1		= −3; M			22		=	1 3			= −9		; M	31	=	2 3				= 2 .
M	=		−2 1		= −3; M					=	1 3			= −9		; M		=	2 3				= 2 .
12			3	0							3	0							0			1
			3	0							3	0							0			1
Алгебраическим дополнением элемента aij																						называется число
													A = (−1)i + j					M		ij	.
														ij						ij
Например, для определителя из примера 3:
A =		(−1)1+2			M = −1 (−3)= 3 ;
12					12
A =		(−1)2+2			M	22	=1 (−9)= −9 ;
22						22
A	=	(−1)3+3			M	33	=1		1 2				= 4 .
A	=	(−1)3+3			M		=1		1 2				= 4 .
33									−2			0
									−2			0

Теорема Лапласа (теорема разложения). Значение определителя равно сумме произведений элементов некоторой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

1 2 3

Пример 4. Вычислить определитель −2 0 1 . 3 −1 0

Решение. Воспользуемся теоремой Лапласа. Разложим определитель, например, по элементам третьего столбца.


						1	2	3
						−2 0		1	= 3 A13 +1 A23 + 0 A33 ,
						3	−1	0
A = (−1)1+3			−2		0		= 2 , A		= (−1)2+3	1	2	= −(−1− 6) = 7 , тогда:
A = (−1)1+3			−2		0		= 2 , A		= (−1)2+3	1	2	= −(−1− 6) = 7 , тогда:
13			3	−1			23			3	−1
			3	−1						3	−1
		1		2	3
		1		2	3
	−2 0					1	= 3 A13 +1 A23 + 0 A33 = 3 2 +1 7 =13 .
		3 −1			0

Ответ: 13.

3. Обратные матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу А порядка n.

Матрица А называется невырожденной, если det A ≠ 0 . Если det A = 0 , то матрицу А называют вырожденной.

Матрицу A−1 называют обратной матрице А, если A−1 A = A A−1 = E . Теорема. Матрица A−1 существует и единственна тогда и только то-

гда, когда матрица А невырожденная.
Обратную матрицу A−1 находят по формуле:
A−1 =	1	A,	(1)
	det A

где матрица A называется присоединенной или союзной матрицей. A состоит из алгебраических дополнений элементов транспонированной матрицы А:

	A11		A21	A31
A =	A		A	A
		12	22	32
	A		A	A
		13	23	33

2		1	−1
	3	1	−2
Пример 5. Найти матрицу, обратную матрице A =				.
	1	0	1

Решение. Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда

матрица А невырожденная. Найдем определитель матрицы А.
								2	1		−1			= 2 1 1+ 3 0 (−1)+1 (−2) 1−
								2	1		−1
				det A =				3	1		−2
								1	0		1
			−1 1 (−1)					−0 (−2)						2 − 3 1 1 = 2 − 2 +1− 3 = −2 ≠ 0.
Т.к. определитель матрицы А отличен от нуля, то матрица A−1 суще-
ствует и единственна. Используя формулу (1), найдем матрицу A−1.
A = (−1)1+1	1− 2				=1;				A = (−1)1+2								3 −2				= −5; A			=	(−1)1+3	3 1				= −1;
A = (−1)1+1	1− 2				=1;				A = (−1)1+2								3 −2				= −5; A			=	(−1)1+3	3 1				= −1;
11	0			+1					12								1			1			13			1			0
	0			+1													1			1						1			0
A = (−1)2+1			1 −1				= −1; A				=		(−1)2+2						2 −1			= 3 ;	A	=	(−1)2+3			2 1		=1;
A = (−1)2+1			1 −1				= −1; A				=		(−1)2+2						2 −1			= 3 ;	A	=	(−1)2+3			2 1		=1;
21			0	1					22										1	1			23					1	0
			0	1															1	1								1	0
A = (−1)3+1		1 −1				= −1; A					= (−1)3+2							2 −1				=1;	A	=	(−1)3+3		2 1			= −1.
A = (−1)3+1		1 −1				= −1; A					= (−1)3+2							2 −1				=1;	A	=	(−1)3+3		2 1			= −1.
31		1		−2					32									3		−2			33				3		1
		1		−2														3		−2							3		1
Обратная матрица A−1 будет иметь вид:
															1	1				−1		−1
									A	−1		= −			1	−5
									A			= −			2	−5				3 1 .
															2	−1				1
																−1				1		−1

Выполним проверку. По определению для матрицы A−1 должно выполняться равенство: A A−1 = A−1 A = E .

Найдем A−1 A

		1	1 −1 −1	2	1	−1
A−1	A = −			3	1	−2	=
		2	−5 3 1
				1	0 1
			−1 1 −1

2 −3 −1

1−1+ 0

−1+ 2 −1

−2 0 0

1 0 0

= −

−10

+ 9 +1

−5 + 3

+ 0 5 − 6 +1

= −

0 −2 0

0 1 0

= E.

−2 + 3 −1

−1+1

+ 0 1− 2 −1

0 0 −2

0 0 1

Аналогично можно показать, что A A−1 = E .

−1 −1

Ответ: A

−1

= −

−5

1 .

−1

4. Системы линейных алгебраических уравнений.

Система вида:

a x + a		x		2		+...a	x		n		= b ;
11 1	12			2		1n			n		1
a x + a			x			+...a		x			= b ;	(2)
21 1	22				2	2n				n	2	(2)
. . . . . . . . . . .
	+ am2x2 +...amn xn = bm.
am1x1	+ am2x2 +...amn xn = bm.

называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Чис-

ла	aij , i =	1,m		, j =	1,n	называют			коэффициентами системы, числа
bi	– свободными членами.
Систему (2) можно записать в виде матричного уравнения AX = B ,
				a11		a12	...	a1n
где матрица				a		a	...	a	состоит из коэффициентов системы
где матрица			A = 21			22		2n	состоит из коэффициентов системы
						...	...	...
				...		...	...	...
				am1		am2	...	amn

	x
		1
и называется основной матрицей системы, x =	x2		– матрица-столбец
и называется основной матрицей системы, x =		…	– матрица-столбец
		…


	xn

	b1
	b
неизвестных и B =		2	– матрица-столбец свободных членов.
неизвестных и B =		…	– матрица-столбец свободных членов.
		…

	b
		n

Матрица А, дополненная столбцом свободных членов, называется расширенной матрицей системы и обозначается A :

	a11	a12	...	a1n	b1
	a11	a12	...	a1n	b1
	a	a	...	a	b
A =	21	22		2n	2	.
A =	... ...		... ...		...	.
	... ...		... ...		...
		a	...	a	b
	a	a	...	a	b
	m1	m2		mn	m

Решением системы (2) называется набор из n значений неизвестных, при подстановке которых в систему, каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решений, то ее называют несовместной.

Система, имеющая единственное решение, называется определенной. Если решений больше одного, то система называется неопреде-

ленной.

Каждое конкретное решение системы называется частным решением. Совокупность всех частных решений называют общим решением.

Две системы называют эквивалентными, если они имеют одно и то же общее решение.

Система (2) называется однородной, если все ее свободные члены равны нулю. Однородная система всегда совместна, т.к. набор x1 = 0 ,

x2 = 0 , …, xn = 0 является решением этой системы. Это решение назы-

вается нулевым или тривиальным решением.

5. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему, состоящую из трех уравнений и содержащую три неизвестных:

a x + a x				2	+ a x	3	= b ;
	11	1	12		13		1
a21x1 + a22x2					+ a23x3 = b2;			(3)
			+ a32x2		+ a33x3 = b3.
a31x1

Систему (3) можно записать в виде матричного уравнения:

a11 a12			a13	x1			b1
a		a	a	x	2	=	b	или AX = B .
	21	22 23			2		2
a		a	a	x	3		b
	31	32	33		3		3

1. Метод Крамера.

Теорема. Система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных имеет единственное решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы является невырожденной, т.е det A ≠ 0 .

Если выполнены условия теоремы, то решение системы (3) можно найти по формулам:

		x =	1 ; x	2	=	2 ; x	3	= 3	,
1				2			3
где = det A ; j , j =		, получены из				заменой j-го столбца столбцом
где = det A ; j , j =	1,3	, получены из				заменой j-го столбца столбцом

свободных членов.

Следствие. Если det A = 0 , то система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений.

2x + y −z =1,

Пример 6. Решить методом Крамера систему 3x + y − 2z = −1,

z = 4.

2x + y −z =1,

Решение. Запишем систему

+ y − 2z = −1, в виде матричного урав-

z = 4,

нения:

2 1

−1 x

3 1

−2

−1 .

1 0 1

Определитель основной матрицы системы

= −2 ≠ 0 (см. пример 5).

Т.к. ≠ 0 ,

то система имеет единственное решение.

Вычислим 1,

2 , 3 .

−1

=1+ (−8)+ 0 + 4 +1− 0 = −2 ;

1 =

−1 1 −2

−1

= −2 + (−2)−12 −1− 3 +16 = −4 ;

2 =

3 −1 −2

3 =

3 1 −1

= 8 −1+ 0 −1−12 −0 = −6 .

Тогда x =

1 = −2 =1, y

= 2

= −4

= 2 , z =

−6

= 3.

−2

Ответ: x =1, y = 2 , z = 3 .

2. Метод обратной матрицы.

Рассмотрим систему (3) как матричное уравнение A X = B . Если матрица А невырожденная, то для нее существует обратная матрица A−1.

Умножив обе части уравнения A X = B на матрицу A−1 слева,																																														получим
решение этого уравнения X = A−1B .
																																										2x + y − z = 0,
																																											+ y + z = 3,
	Пример 7. Решить методом обратной матрицы систему x																																										+ y + z = 3,
																																											−y				=1.
																																										x	−y				=1.
	Решение. Запишем систему в виде матричного уравнения AX = B , где
															2 1 −1													x									0
															1	1			1										1					, B		=		3
														A =	1	1			1	,		X = x2												, B		=		3	.
															1 −1 0																							1
															1 −1 0													x3										1
	Найдем определитель матрицы А.
			2	1					−1						1		1				1		1				+ (			−1)			1			1


	det A =		1	1					1					= 2				−1																			= 2 +1+ 2 = 5 ≠ 0 .
			1				−1		0						−1		0				1		0										1		−1
			1				−1		0
	Т.к. det A ≠ 0 , то для матрицы А существует обратная матрица A−1.
Найдем ее по формуле (1).
A = (−1)1+1					1 1						=1;				A =			(−1)1+2						1 1						=1;							A =				(−1)1+3			1 1					= −2 ;
A = (−1)1+1					1 1						=1;				A =			(−1)1+2						1 1						=1;							A =				(−1)1+3			1 1					= −2 ;
11					−1				0						12									1				0										13						1			−1
					−1				0															1				0																1			−1
A		= (−1)2+1					1 −1						=1;		A =			(−1)2+2								2 1						=1; A =									(−1)2+3					2 1				= 3 ;
A		= (−1)2+1					1 −1						=1;		A =			(−1)2+2								2 1						=1; A =									(−1)2+3					2 1				= 3 ;
21							−1		0						22											−1			0									23								1	−1
							−1		0																	−1			0																	1	−1
A		= (−1)3+1				1 −1				= 2 ;					A =			(−1)3+2							2 −1						= −3					; A =					(−1)3+3				2 1			=1;
A		= (−1)3+1				1 −1				= 2 ;					A =			(−1)3+2							2 −1						= −3					; A =					(−1)3+3				2 1			=1;
31						1			1						32										1				1									33							1		1
						1			1																1				1																1		1
																			1			1						1				2
															A		−1	=	1			1						1		−3
															A			=	5			1						1		−3				.
																			5									3	1
																				−2								3	1
	Решение системы найдем по формуле X = A−1B , т.е.
								1	1 1 2 0													1						0 + 3 + 2									1		5			1
			X =					1				1 1			−3					=		1						0 + 3 −3								=	1			0
			X =					5				1 1			−3	3				=		5						0 + 3 −3								=	5			0		= 0	.
								5				−2 3 1										5						0 + 9 +1									5			10
												−2 3 1				1												0 + 9 +1												10		2

Ответ: x =1, y = 0 , z = 2 .

3. Метод Гаусса.

Матрица называется ступенчатой, если первый слева ненулевой элемент каждой строки, начиная со второй, находится правее такого же элемента предыдущей строки.

Элементарными преобразованиями матрицы являются:

1)транспонирование матрицы;

2)перестановка двух строк (столбцов) матрицы;

3)умножение всех элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) на число, отличное от нуля;

4)сложение элементов какой-либо строки (какого-либо столбца) с соответствующими элементами другой строки (столбца), умноженными на некоторое число.

Решение системы методом Гаусса (методом последовательных ис-

ключений) состоит из двух этапов: прямой и обратный ход метода Гаусса. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований строк или используя правило «прямоугольника»

расширенная матрица системы приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) из системы уравнений, соответствующей ступенчатой матрице, последовательно, начиная с последнего уравнения, находят (если это возможно) решение системы.

	x − 2y + z = 3,

Пример 8. Решить систему методом Гаусса −2x + z = −1,
	x + 4y + 3z =15.
	x + 4y + 3z =15.

Решение. Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду:

1	−2	1	3		1 −2		1	3		1 −2		1	3	(3)

−2 0		1	−1	(1)	0	−4	3	5	(2)	0	−4	3	5

1	4	3	15		0	6 2		12		0	3 1		6

1 −2		1	3	(4)	1 −2		1	3

0	−4	3	5		0	−4	3	5
									.
0	0 13		39		0	0 1		3

(1): элементы первой строки матрицы (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножим на 2 и сложим с соответствующими эле-

ментами второй строки (1 2 − 2 = 0, −2 2 + 0 = −4, 1 2 +1 = 3 , 3 2 −1 = 5 –

получаем вторую строку новой матрицы: 0; –4; 3; 5). Элементы первой строки умножим на (–1) и сложим с соответствующими элементами

третьей строки (1 (−1) +1=0, −2 (−1) + 4 = 6, 1 (−1) +3 =2, 3 (−1) +15 =12 –

получаем третью строку новой матрицы: 0; 6; 2; 12).

(2): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 2.

(3): элементы первой строки переписываем без изменений, элементы второй строки (их переписываем в новую матрицу без изменений) умножаем на 3 и складываем с соответствующими элементами третьей стро-

ки, умноженными на 4 ((−4) 3 + 3 4 = 0 , 3 3 +1 4 =13 , 5 3 + 6 4 = 39 –

получаем третью строку новой матрицы: 0; 0; 13; 39).

(4): элементы первой и второй строки переписываем без изменений, а элементы третьей строки разделим на 13.

Полученной ступенчатой матрице соответствует система:

x − 2y + z = 3,
	− 4y + 3z = 5,

	z = 3.

Из последнего уравнения z = 3 . Подставим найденное значение z во второе уравнение: −4y + 3 3 = 5 , следовательно y =1. Полученные значения z и y подставим в первое уравнение: x −2 1+1 3 =3. Отсюда x = 2.

Ответ: x = 2, y =1, z = 3 .

						2x + 3y − z =1,
Пример 9. Решить систему методом Гаусса							= 6,
Пример 9. Решить систему методом Гаусса						x + 2y + 2z	= 6,

						3x + 4y −3z = −2.
Решение. Составим расширенную матрицу системы
	2	3	−1	1
	2	3	−1	1
	1	2	2	6

A =					.
	3	4	−3	− 2
	3	4	−3	− 2

Приведем матрицу A к ступенчатому виду, используя правило «прямоугольника». Назовем первую строку матрицы A разрешающей стро-

кой, а элемент a11 = 2 – разрешающим элементом.

	2	3	−1	1
	2	3	−1	1
	1	2	2	6
A =	1	2	2	6	.
	3	4	−3	− 2

Разрешающую строку переписываем без изменений, под разрешающим элементом записываем нули. Остальные элементы пересчитываем по правилу:

1) искомый и разрешающий элемент стоят в диагонально противоположных вершинах прямоугольника и образуют главную диагональ. Оп-

ределяем еще два элемента, которые стоят в двух других вершинах этого же прямоугольника и образуют его вторую диагональ (побочную);

Разрешаю-	+
щий элемент	+
Побочная	Главная
диагональ	диагональ

+Искомый

элемент

2)искомый элемент равен произведению элементов по главной диагонали минус произведение элементов по побочной диагонали.

Для матрицы			A	получим:
	2	3		−1	1		2 3 −1			1
	2	3		−1	1		2 3 −1			1
	0	2 2 −1 3 2 2 −1 (−1)			6 2 −1 1	=		0	1 5	11 .

	0	4 2 −3 3 −3 2 −3 (−1)						0	−1 −3	−7
	0	4 2 −3 3 −3 2 −3 (−1)			− 2 2 −3 1			0	−1 −3	−7
					− 2 2 −3 1

На следующем шаге разрешающей строкой является вторая строка, а разрешающим элементом элемент a22 =1. Элементы разрешающей

строки и всех вышерасположенных строк остаются неизменными; элементы, расположенные под разрешающим элементом, обращаются в нуль. Остальные элементы пересчитываем по правилу «прямоугольника».

2	3	−1	1		2	3	−1	1

0	1	5	11		0	1 5
				=				11 .
0	0	−3 1−5 (−1)	−7 1−11 (−1)		0	0	2	4

Вместе с правилом «прямоугольника» можно использовать и элементарные преобразования. Так, например, в полученной матрице элемен-

ты		последней строки можно разделить на 2. Получим матрицу
	2	3	−1	1

	0	1	5		, которая имеет ступенчатый вид. Ей соответствует сис-
				11
	0	0	1	2

тема уравнений:

2x + 3y − z =1,

y + 5z =11,

z = 2.

Из последнего уравнения z = 2 . Подставим найденное значение z во второе уравнение: y +5 2 =11, следовательно y =1. Полученные значения z и y подставим в первое уравнение: 2x +3 1−1 2 =1. Отсюда x = 0.

Ответ: x = 0, y =1, z = 2 .

6. Однородные системы.

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

a x + a

+...a

= 0;

+ a

+...a

21 1

. . . . . . . . . . .

+ am2x2 +...amn xn = 0.

am1x1

Теорема. Однородная система, состоящая из n уравнений и содержащая n неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда основная матрица системы вырожденная, т.е. det A = 0 .

				2x + 2y − z = 0,

Пример 10. Решить систему уравнений 5x + 4y − 6z = 0,

				3x + 2y −5z = 0.
Решение. Найдем определитель основной матрицы системы:
	2	2	−1
	2	2	−1
	5	4	−6	= 2 (4 (−5) − 2 (−6)) − 2 (5 (−5) −3 (−6)) −1 (5 2 −3 4) =
	3	2	−5

= 2 (−8) − 2 (−7) −1 (−2) = −16 +14 + 2 = 0.

Т.к. определитель равен нулю, то система имеет ненулевое решение. Для решения системы воспользуемся методом Гаусса. Поскольку система однородная, то к ступенчатому виду будем приводить основную

матрицу системы:
	2 2		−1	2	2 −1
	5	4			−2		,
	5	4	−6	0	−2	−7	,
3		2	−5	0	−2	−7

т.к. полученная матрица имеет две одинаковые строки (а, следовательно, соответствующая система имеет два одинаковых уравнения), то ее

2		2	−1
можно записать в виде	0	−2	−7	.

Полученной ступенчатой матрице будет соответствовать система уравнений:

2x + 2y − z = 0,
	− 2y −7z = 0.

Система состоит из двух уравнений и содержит три переменные. Выразим переменные x и y через переменную z:

y = −72 z; x = 21 (7z + z) = 4z.

Обозначим z = 2t , тогда y = −7t, x = 8t, t .

Ответ: x = 8t, y = −7t, z = 2t, t .

<<< < Предыдущая 1 23 / 73 4 5 6 7 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
18.02.201624.06 Кб15means of communication.doc
#
18.02.20161.98 Mб10mechkovskaia.pdf
#
18.02.2016147.97 Кб4melkie_shpory.doc
#
18.02.2016136.7 Кб3Metadychka_GViT_d_.doc
#
18.02.2016371.71 Кб8metod-dipl 1.doc
#
18.02.2016661 Кб9Metodicheskie_rekomendatsii_k_vypolneniyu_KR_1.pdf
#
23.11.2019743.42 Кб6metodicheskie_ukazaniaOOP_1_chast.doc
#
17.11.2019156.16 Кб12Metodicheskie_ukazania_po_kursovomu_proektirova...doc
#
18.02.2016567.3 Кб6Metodicheskie_ukazanija.pdf
#
23.11.201973.73 Кб4metodichesk_posobie_dlya_kursovogo_proekta_po_P...doc
#
18.02.2016198.66 Кб7metodichka.doc