3.3.Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Понятие конформного отображения

Напомним вначале некоторые сведения о кривых. Как было отмечено в § 2 п.1, каждая кривая на плоскости может быть задана параметрическими уравнениями

где x(t), y(t) действительные функции действительного переменного t.

Если функции x(t), y(t) имеют непрерывные производные на интервале ( ; ), причем x0(t) и y0(t) одновременно не обращаются в нуль, то кривая называется гладкой.

Так как каждая точка (x; y) на плоскости задается комплексным числом z = x+iy, то уравнения (3.8) можно записать в более компактной форме:

z(t) = x(t) + iy(t); 6 t 6 :

Возьмем значение t0 2 ( ; ). Ему соответствует точка (x0; y0), где x0 = x(t0), y0 = y(t0). Известно, что вектор (x0(t0); y0(t0)) направлен по касательной к кривой в точке (x0; y0). Значит, и соответствующее комплексное число

z0(t0) = x0(t0) + iy0(t0)

изображается этим касательным вектором. Удобно изображать этот вектор исходящим не из начала координат, а из точки

(x0; y0).

Пусть теперь задана функция f(z), аналитическая в точке z0, причем f0(z0) 6= 0. Предположим далее, что через точку z0 проходит кривая , заданная уравнением z(t) = x(t) + iy(t) и z(t0) = z0 (см. рис. 3.1).

84

Кривая отображается функцией w = f(z) в кривую , лежащую в плоскости w, уравнение кривой будет иметь вид w = f(z(t)); точка z0 отобразится в точку w0 = f(z0). По правилу дифференцирования сложной функции

Но z0(t0) есть вектор, касательный к кривой в точке z0 (см. рис. 3.1), a w0(t0) вектор, касательной к кривой в точке w0 (см. рис. 3.2). Поэтому равенство (3.10) позволяет придать величине Arg f0(z0) следующий геометрический смысл: аргумент производной равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z0 к любой кривой, проходящей через эту точку, чтобы получить направление касательной в точке w0 = f(z0) к образу данной кривой при отображении w = f(z). Заметим, что этот угол не зависит от кривой , т.е. касательные ко всем кривым, проходящим через точку z0, поворачиваются при отображении w = f(z) на один и тот же угол. Поэтому если через точку z0 провести какие-либо две кривые и 1 (см.

85

рис. 3.1), то угол между касательными к этим кривым будет равен (как по величине, так и по направлению отсчета) углу между касательными к образам этих кривых. Напомним, что углом между кривыми в точке z0 называется угол между касательными к этим кривым в точке z0. Таким образом, если f0(z0) 6= 0, то отображение w = f(z) сохраняет углы между кривыми. Это свойство называется свойством консерватизма углов.

Выясним далее геометрический смысл модуля производной.

фициентом растяжения в точке z0 при отображении w = f(z). Поскольку

lim j4wj = jf0(z0)j;

4z!0 j4zj

то jf0(z0)j равен коэффициенту растяжения в точке z0 при отображении w = f(z). Если jf0(z0)j > 1, то в достаточно малой окрестности точки z0 расстояния между точками при отображении увеличиваются и происходит растяжение; если jf0(z0)j < 1, то отображение приводит к сжатию.

Так как производная f0(z0) не зависит от того, по какому

86

пути точка z = z0+4z приближается к z0, то коэффициент растяжения одинаков во всех направлениях. Это свойство называется свойством постоянства растяжений. Проиллюстрируем его следующим образом. Возьмем окружность ` с центром z0 и радиусом j4zj (см. рис. 3.3). При отображении w = f(z) эта окружность перейдет в кривую L (рис. 3.3); расстояние от точ-

ки w = f(z0 + 4z) этой кривой до точки w0 = f(z0) равно j4wj = jf(z0 + 4z) f(z0)j. Поскольку

4w = f0(z0)4z + (4z) 4z;

где (4z) ! 0 при 4z ! 0, то точки кривой L будут отличаться от окружности с центром w0 и радиусом jf0(z0)jj4zj на величину более высокого порядка малости, чем j4zj.

Отображение называется конформным отображением в точке z0, если: 1) при этом отображении сохраняются углы между любыми двумя кривыми, проходящими через точку z0;

2)растяжение в точке z0 не зависит от направления. Отображение области D на область E называется конформ-

ным отображением области D, если оно непрерывно и конформно в каждой точке области D.

Если конформное отображение сохраняет и направление отсчета углов, то оно называется конформным отображением первого рода; если направление отсчета углов меняется на противоположное, то конформным отображением второго рода.

Пример конформного отображения второго рода дает функция (не аналитическая!) w = z; которая каждую область D отображает на область E, симметричную D, относительно действительной оси.

Полученные выше результаты сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 3.4. Если функция w = f(z) является аналитической в точке z0 и f0(z0) 6= 0, то f(z) осуществляет

87

конформное отображение первого рода в точке z0. При этом Arg f0(z0) означает угол поворота, a jf0(z0)j коэффициент растяжения при данном отображении.

Если f0(z0) = 0, то отображение, вообще говоря, уже не будет конформным в точке z0. Так, отображение w = z2 увеличивает вдвое углы между лучами в начале координат.

Пример 3.5. Найти угол поворота и коэффициент растя-

жения при отображении w = z i 2 в точке z0 = 2i. z + i

Решение. Вычислим производную

Согласно теореме 3.4. коэффициент растяжения при отображении w = f(z) в точке z0 равен модулю значения производной в этой точке, а угол поворота аргументу производной в заданной точке. Вычислим значение производной в точке z0 = 2i:

Задания для аудиторных занятий к § 3

1.Исследовать функцию w = f(z) на дифференцируемость

ианалитичность, в случае аналитичности функции w найти ее производную.

88

2. Проверить выполнение условий Коши-Римана для функций z3, ez, cos z, sin z и доказать, что

(z3)0 = 3z2; (ez)0 = ez; (cos z)0 = sin z; (sin z)0 = cos z:

3.Найти области, в которых функция f(z) = jx2 y2j+ +2ijxyj будет аналитической.

4.Доказать, что функция w = ez не дифференцируема во всей комплексной плоскости.

5.Доказать, что функция w = z Re z дифференцируема

ствует.

7. Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = f(z) будет аналитической в C.

1)w = x3 + axy2 + 2x + i(bx2y y3 + cy);

2)w = ax2 y2 + b cos x ch y + i(cxy + sin x sh y);

8. Найти функции, сопряженные с данными гармоническими функциями в указанных областях.

1) u(x; y) = x2 y2 + x; 0 6 jzj < 1;

x

2) u(x; y) = x2 + y2 ; 0 < jzj < 1;

3) u(x; y) = 12 ln(x2 + y2); 0 < jzj < 1:

9. Существует ли аналитическая функция w = u + iv, для которой:

89

1.2.w = (3x2 xy) + i(x3 2xy y3);

1.3.w = (x2 + y2) 2i(xy + 2y + 1);

1.4.w = 5z2 (4 + 3i)z + 2i 1;

1.18.w = (z + 1)e z;

2.Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = f(z) будет аналитической в C:

2.1.w = x + ay + i(bx + cy);

2.2.w = ax2 + by2 + icxy;

2.3.w = (ch y + a sh y) cos x + i(ch y + b sh y) sin x;

2.4.w = x2 + ax + by2 + i(5y + cxy);

2.5.w = ax2 + by2 x + i(7y + cxy);

2.7. w = (sin x + a cos x) ch y + i(cos x + b sin x) sh y;

91

2.13.w = a(x2 x2) + y3 + 5x2y + i(x3 + bxy2 + cxy);

2.14.w = x2 y2 + ax 7y + i(bx + 7y + cxy);

2.15.w = ax + by + cxy + i(x2 y2 + ay bx);

2.16.w = ax + 3y + bxy + i(x2 y2 + cx + 16y);

2.17.w = x3 + ax2y + 3xy2 y3 + i(bx3 + 3xy2 + cx2y + y3);

2.18.w = x3 + axy2 6xy + i(bx2y y3 + bx2 cy2);

2.19.w = ax2y + bx + y3 + i(cx3 3xy2 + 2y);

2.20.w = ax2y + 2bxy + y3 + i(x3 + bx2 + cxy2 4y2);

2.21.w = x2 + axy y2 + i(bx2 + cxy 4y2 5);

2.22.w = x2 + axy y2 + 5x + i(bx2 + cxy 3y2 + 5y);

2.23.w = ax2 + bxy 4y2 2y + i(3x2 + cxy 3y2 + 2x);

2.24.w = x3 + axy2 4y + i(bx2y y3 + cx);

2.25.w = ax2y + by3 + 2(x2 y2) + i(x3 3xy2 + cxy);

2.26.w = x3 + xy(a 3y) i(y2(y + 3) + x2(by + c));

2.27.w = axy + 7x + by + i(x2 y2 + 3x + cy);

2.28.w = ax2 10xy + 3y2 3y + i(bx2 6xy + cy2 + 3x);

2.29.w = ax2 + 2y(x y) + 3x y + i(x(4y x) + by2 + cx + 3y);

2.30.w = ax2y + y3 + 9x + i(x3 + bxy2 + cy).

3.Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию w = f(z) по известной действительной части u(x; y)

или мнимой v(x; y) и значению f(z0):

3.1. u = x3 3xy2 x, f(0) = 0;

3.2. u = x2 y2 + 5x + y y , f(1) = i; x2 + y2

x

3.3. u = x2 + y2 + x, f(1) = 2; 3.4. v = e y sin x, f(0) = 1;

y

3.5. v = 1 x2 + y2 , f(1) = 1 + i; 3.6. u = 1 sin y ex, f(0) = 1 + i; 3.7. v = 3x2y y3, f(0) = 1;

3.8. v = 3x2y y3 y, f(0) = 0; 3.9. v = x2 y2 + 2x + 1, f(0) = i;

92

3.10. v = ln(x2 + y2) + x 2y, f(1) = 1 + i;

y

3.11. v = (x + 1)2 + y2 , f(0) = 1;

3.12. v = e y sin x + y, f(0) = 1;

3.13. u = e2x + 1 cos y, f(0) = 2; ex

3.14.u = x3 3xy + 1, f(0) = 1;

3.15.v = ex(y cos y + x sin y), f(0) = 0;

3.17.u(x; y) = 2x3 6xy2 6xy + 4x; f( i) = 0;

3.18.v = ex cos y, f(0) = 1 + i;

3.19.v = 2(ch x sin y xy), f(0) = 0;

3.20.u = 2 sin y ch y x, f(0) = 0;

y

3.21. v = y x2 + y2 , f(1) = 2;

3.22. u = ex(x cos y y sin y), f(0) = 0;

3.23.v = e2x 1 sin y, f(0) = 2; ex

3.24.u = e y cos x + x, f(0) = 1; x + 1

3.25.u = (x + 1)2 + y2 , f(0) = 1;

3.26.v = y cos y ch x + x sin y sh x, f(0) = 0;

3.27.v = 2 cos x ch y x2 + y2, f(0) = 2;

3.28.u = ex(x cos y y sin y) + x3 3xy2 + y, f(0) = 1;

3.29.v = x2 y2 x, f(0) = 0;

3.30.v = y cos y ch x + x sin y ch x, f(0) = 0:

4.Восстановить аналитическую функцию w = f(z) по ее мнимой v(x; y) или действительной части u(x; y) и найти ее производную:

93

4.15.v = arctg xy +ex sin y+3y;

5.Проверить гармоничность функции в указанной области и найти, если это возможно, аналитическую функцию поx + y

данной ее действительной или мнимой части:

x2 y2

5.1. u = (x2 + y2)2 , 0 < jzj < +1;

5.2. u = ln(x2 + y2) x2 + y2, 0 < jzj < +1;

5.3. u = ey=x, 0 < jzj < +1;

5.4. u = x3 3xy2, 0 6 jzj < +1;

5.5. v = 2ex sin y, 0 6 jzj < +1; 5.6. u = 2xy + 3, 0 6 jzj < +1;

5.7. v = xy, 0 6 jzj < +1;

5.8. u = x3 + 3x2y, 0 6 jzj < +1;

5.9. u = ex cos y, 0 6 jzj < +1;

5.10. u = y3 10xy2, 0 6 jzj < +1;

94

5.11.u = ln(x2 + y2) 2xy, 0 < jzj < +1;

5.12.u = ln(x2 + y2) + x2, 0 < jzj < +1;

5.28.u = 3x2y y3 + xy, 0 6 jzj < +1;

5.29.u = 2xy + 3y2 1, 0 6 jzj < +1;

5.30.v = ex(x cos y y + 1), 0 6 jzj < +1.

6.Найти коэффициент растяжения k и угол поворота ' для

заданного отображения w = f(z) в точке z0:

6.1. w = 5z2 4z + 3, z0 = 1 + 3i; p

6.2. w = z2 iz + 3i, z0 = 1 3i;

6.3.w = 3z2 4iz + i, z0 = i + 1;

6.4.w = z3 + 4z 3i, z0 = 2 i;

6.5.w = (z + 3i)2 4z, z0 = 2 + i;

95

6.18.w = z2 + 5z i, z0 = 3i; 6.30. w = ez, z0 = ln 2 + i 4 :

7.Найти множества всех точек z0, в которых коэффициент

линейного растяжения при отображении w = f(z) равен k:

7.1.w = (3 + 4i)z2 (1 + i)z, k = 1;

7.2.w = (1 i)z2 + (2 3i)z, k = 2;

96

7.26.w = z3 + 2iz, k = 0;

7.27.w = z2 + 3iz, k = 12;

8.Найти множества всех точек z0, в которых угол поворота

при отображении w = f(z) равен ':

8.1.w = 5iz3 + (7 2i)z, ' = 0;

8.2.w = 3iz3 (4 3i)z, ' = 4 ;

8.3.w = (3 2i)z3 2iz, ' = 0;

8.4. w = z2 + 2z, ' = 2 ; 8.5. w = z1, ' = 2 ;

8.6. w = z1, ' = 0;

8.7. w = z3 3z, ' = 0; 8.8. w = z3 + 2z, ' = 2 ;

8.9. w = z3 3z, ' = 2 ; 8.10. w = z3 + 9z, ' = 0;

8.11. w = z2 + iz, ' = 0;

8.12. w = iz3 + 3z, ' = 4 ;

8.13. w = 3z2 +(2i 1)z, ' = 0;

8.14. w = iz3 2z2, ' = 0;

8.15. w = 4z2 +(3i 2)z, '= 2 ;

8.16. w = iz3 + 4z2, ' = 2 ; 8.17. w = iz3 + 4z, ' = 0;

97

Решение типового варианта

Пример 1. Исследовать функцию на дифференцируемость и аналитичность, в случае аналитичности функции w, найти ее производную, если a) w = z2 5iz + i Im z + Re z2;

б) w = z2 + (7 + 2i)z 5 + 9i:

Решение. a) запишем комплексное число z в алгебраической форме, и отделим действительную u(x; y) и мнимую v(x; y) части функции w(z).

w(z) = (x + iy)2 5i(x iy) + i Im(x + iy) + Re(x iy)2; w(z) = x2 + 2ixy y2 5ix 5y + iy + Re(x2 2ixy y2); w(z) = x2 + 2ixy y2 5ix 5y + iy + x2 y2;

w(z) = 2x2 2y2 5y + i(2xy 5x + y);

значит, u(x; y) = 2x2 2y2 5y; v(x; y) = 2xy 5x + y: Функции u(x; y), v(x; y) непрерывно дифференцируемы на R2. Проверим выполнение условий Коши-Римана (3:4):

Следовательно, искомая функция дифференцируема только в точке z0 = 1=2: Поскольку в любой проколотой окрестности точки z0 функция w не дифференцируема, то она нигде не аналитична.

б) w = (x + iy)2 + (7 + 2i)(x + iy) 5 + 9i;

w= x2 + 2ixy y2 + 7x + 2ix + 7iy 2y 5 + 9i;

w= (x2 y2 + 7x 2y 5) + i(2xy + 2x + 7y + 9);

u(x; y) = x2 y2 + 7x 2y 5; v(x; y) = 2xy + 2x + 7y + 9:

Функции u(x; y), v(x; y) непрерывно дифференцируемы на

R2. Проверим выполнение условий Коши-Римана (3:4):

u0x = (x2 y2 + 7x 2y 5)0x = 2x + 7, vx0 = (2xy + 2x + 7y + 9)0x = 2y + 2;

98

u0y = (x2 y2 + 7x 2y 5)0y = 2y 2; vy0 = (2xy + 2x + 7y + 9)0y = 2x + 7:

u0x = vy0 ; 2x + 7 2x + 7;

u0y = vx0 ; 2y 2 (2y + 2);

для всех (x; y) из R2, следовательно, функция w = z2 + (7 + 2i)z 5 + 9i

дифференцируема, а значит, и аналитична во всей комплексной плоскости.

w0 = u0x + ivx0 = 2x + 7 + i(2y + 2) = 2z + 7 + 2i:

Пример 2. Найти значения постоянных a; b; c, при которых функция w = ax2 + 3y2 + b cos x sh y + i(cxy + sin x ch y)

будет аналитической в C.

Решение.

u(x; y) = Re w(z) = ax2 + 3y2 + b cos x sh y; v(x; y) = Im w(z) = cxy + sin x ch y:

Вычислим частные производные функций u(x; y), v(x; y):

u0x = (ax2 + 3y2 + b cos x sh y)0x = 2ax b sin x sh y; vx0 = (cxy + sin x ch y)0x = cy + cos x ch y;

u0y = (ax2 + 3y2 + b cos x sh y)0y = 6y + b cos x ch y; vy0 = (cxy + sin x ch y)0y = cx + sin x sh y:

Согласно условиям Коши-Римана (3:4), получаем:

2ax b sin x sh y cx+sin x sh y; cy+cos x ch y (6y+b cos x ch y);

значит, при a = 3, b = 1, c = 6 функция w является аналитической во всей комплексной плоскости.

99

Пример 3. Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 функцию w = f(z) по известной мнимой части v(x; y) и значению f(z0), если v(x; y) = 2xy sin x sh y, f(0) = 2.

Решение. Для определения действительной части функции w = f(z) воспользуемся условиями Коши-Римана (3:4). Так как

@y@v = (2xy sin x sh y)0y = 2x sin x ch y;

то согласно первому условию @u@x = 2x sin x ch y: Интегрируем последнее равенство по x, получим:

Z

u = (2x sin x ch y)dx = x2 + cos x ch y + '(y): (3.11)

Используем второе из условий (3:4). Так как

Продифференцируем функцию u(x; y) из (3.11) по переменной y:

@u = (x2 + cos x ch y + '(y))0 = cos x sh y + '0(y): (3.13)

Из равенств (3.12), (3.13) получаем:

cos x sh y 2y = cos x sh y + '0(y);

откуда '0(y) = 2y, значит, '(y) = y2 + C; а искомая функция u(x; y) имеет вид: u(x; y) = x2 y2 +cos x ch y +C: Функция

100

w = f(z) = x2 y2 + cos x ch y + C + i(2xy sin x sh y): Воспользуемся начальным условием: f(0) = 2:

f(0) = 02 02 +cos 0 ch 0+C +i(0 sin 0 sh 0); f(0) = 1+C = 2,

Интегрируя первое равенство из (3.14) по переменной y, получим:

Z

v = (3 + 2x + 10e2x sin 2y)dy = 3y + 2xy 5e2x cos 2y + '(x):

Вычислим производную функции v(x; y) по переменной x:

@x@v =(3y+2xy 5e2x cos 2y+'(x))0x =2y 10e2x cos 2y+'0(x): (3.15)

Приравнивая (3.14) и (3.15), получаем:

2y 10e2x cos 2y = 2y 10e2x cos 2y + '0(x);

откуда '0(x) = 0; '(x) = C, где C 2 R: Значит, аналитическая функция w = u + iv имеет вид:

101

w = 3x + x2 y2 + 5e2x sin 2y + i(3y + 2xy 5e2x cos 2y + C); или w = 3(x + iy) + (x + iy)2 + 5e2x(sin 2y i cos 2y) + iC = = 3z + z2 5ie2z + iC:

Производную функции w = f(z) вычислим по формуле:

w0 = u0x + ivx0 :

w0 = 3 + 2x + 10e2x sin 2y + i(2y 10e2x cos 2y); w0 = 3 + 2(x + iu) 10ie2x(cos 2y + i sin 2y); w0 = 3 + 2z 10ie2z;

или, используя таблицу производных:

w0 = (3z + z2 5ie2z + iC)0 = (3z)0 + (z2)0 (5ie2z)0 + (iC)0 = = 3 + 2z 5i 2e2z + 0 = 3 + 2z 10ie2z:

Пример 5. Проверить гармоничность функции в указанной области, и найти, если это возможно, аналитическую функцию по данной ее мнимой части:

а) v(x; y) = x3 + 8x2y; 0 6 jzj < +1;

б) v(x; y) = x4 6x2y2 + y4 + 2xy; 0 6 jzj < +1:

Решение. а) Проверим гармоничность функции v(x; y): Вычисляем:

vx0 = (x3 +8x2y)0x = 3x2 +16xy, vy0 = (x3 + 8x2y)0y = 8x2; vxx00 = (3x2 +16xy)0x = 6x+16y; vyy00 = (8x2)0y = 0:

Функция v(x; y) имеет непрерывные частные производные второго порядка, но не удовлетворяет в области D = R2 уравнению Лапласа (3.6), следовательно, не будет гармонической в указанной области, и не является мнимой частью некоторой аналитической функции.

б) Вычисляем частные производные первого и второго порядка функции v(x; y) = x4 6x2y2 + y4 + 2xy; 0 6 jzj < +1:

102

= 3 + 12i 12 2i + 4 + 2 = 3 + 10i:

Перейдем от алгебраической формы записи полученного

отображении w = z3 iz2 + 2z:

Пример 7. Найти множества всех точек z, в которых коэффициент линейного растяжения при отображении w = (z 5 + 2i)3 равен k.

Решение. Множество всех точек z, в которых коэффициент линейного растяжения равен k, удовле-

число z в алгебраической форме z = x + iy; тогда

w0 = 3(x + iy 5 + 2i)2 = 3 ((x 5) + i(y + 2))2 ;

w0 = 3(x 5)2 + 6(x 5)(y + 2)i 3(y + 2)2;

jw0(z)j = p(3(x 5)2 3(y + 2)2) + 36(x 5)2(y + 2)2;

откуда jw0(z)j2 = k2; значит,

9(x 5)4 18(x 5)2(y + 2)2 + 9(y + 2)4 + 36(x 5)2(y + 2)2 = k2;

104

p

3x2 3y2 4 = (3 6xy)2 + (3x2 3y2 4)2; 3 6xy = 0;

откуда 2xy = 1: Таким образом, искомое множество есть гипербола Im z2 = 1.

105