ПРЕДИСЛОВИЕ

Возникновение новых технических, инженерных, а также других естественно-научных специальностей, обуславливает необходимость получения студентами качественной математической подготовки. Это приводит к необходимости перехода к активной творческой работе со студентами, к усилению индивидуального подхода, увеличению доли управляемой самостоятельной работы студентов в общем учебном плане изучаемой дисциплины. В связи с этим, авторы считают актуальным опубликование пособия, направленного в первую очередь на индивидуальное обучение студентов, и содержащего достаточное количество однотипных задач и упражнений.

Пособие полностью соответствует учебной программе по разделу "Теория функций комплексного переменного"для студентов специальности "Физика" физико-технического факультета и специальности "Програмное обеспечение информационных технологий" факультета математики и информатики и представляет собой обобщение многолетнего опыта преподавания авторами математики на этих факультетах.

Данная книга включает в себя пять параграфов: комплексные числа и действия над ними; понятие функции комплексного переменного; дифференцирование функций комплексного переменного; конформные отображения; интегрирование функций комплексного переменного. Каждый параграф содержит необходимые теоретические сведения (основные определения, понятия, формулировки теорем, формулы), используемые при решении задач. Изложение теоретических сведений проиллюстрировано решенными примерами. Конец решения примера обозначен символом . Далее следуют задания для аудиторных занятий к этому параграфу; индивидуальные домашние задания (ИДЗ), каждое из которых содержит 30 вариантов и решение типового варианта. В конце пособия помещены список рекомендуемой литературы и оглавление.

3

Нумерация теорем, формул, рисунков и примеров двойная. Первая цифра обозначает номер параграфа, а вторая номер соответствующей формулы, рисунка или теоремы в этом параграфе. К примеру, формула (3.4) формула номер 4 из x 3, рис. 1.5. пятый рисунок из x 1 и т.д. В ИДЗ номера заданий также имеют двойную нумерацию, первая цифра номер задачи в этом ИДЗ, вторая номер варианта; так например запись 2.14 означает вторую задачу 14-го варианта, а запись ИДЗ 2.3.10. 3-ю задачу 10-го варианта в ИДЗ 2.

Авторы надеются, что предлагаемое пособие позволит овладеть системой понятий, фактов и навыков выполнения теоретических и практических задач у студентов физикотехнических и инженерных специальностей вузов, изучающих раздел ТФКП. Полагаем, что пособие облегчит работу студентов и преподавателей, а также будет полезным широкому кругу студентов других естественно-научных специальностей, а также лицам, занимающимся заочно или получающм дистанционное образование.

Авторы выражают искреннюю благодарность рецензентам: доктору физико-математических наук, профессору Евгению Алексеевичу Ровбе; кандидату физико-математических наук, доценту Алексею Андреевичу Денисковцу за полезные советы и ценные замечания, которые помогли значительно улучшить содержание рукописи пособия. Также авторы признательны кандидату физико-математических наук, доценту Тадеушу Эдвардовичу Можджеру, за конструктивные предложения по совершенствованию данного пособия.

4

§1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1.1.Комплексные числа

Комплексным числом z называется упорядоченная пара (x; y) действительных чисел x и y. Упорядоченность пары (x; y) означает, что при x 6= y пара (x; y) отлична от пары (y; x), т.е. важны не только значения чисел x и y, составляющих пару, но и порядок, в котором эти числа расположены.

Комплексные числа имеют простой геометрический смысл. Возьмем на плоскости прямоугольную декартову систему координат XOY (рис. 1.1). Тогда каждой паре z = (x; y) действительных чисел соответствует точка на плоскости с координатами (x; y), и, наоборот, каждой точке на плоскости соответствует пара действительных чи-

сел, т.е. комплексное число z = (x; y). Первая компонента x комплексного числа z = (x; y) называется действительной, или вещественной частью числа z и обозначается Re z; вторая компонента y называется мнимой частью числа z и обозначается Im z. (Термины действительная и мнимая часть напоминают о непростом развитии теории комплексных чисел; теперь нам известно, что первая координата точки z не более вещественна, чем вторая.) Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью и обозначается через C.

Два комплексных числа z1 = (x1; y1) и z2 = (x2; y2) считаются равными, тогда и только тогда, когда x1 = x2, y1 = y2, т.е. если соответствующие точки z1 и z2 на плоскости совпадают.

Комплексные числа z = (x; 0) изображаются точками на

5

оси OX, как и действительные числа. Поэтому ось OX называется действительной осью, а числа z = (x; 0) часто обозначаются просто через x : z = (x; 0) = x. В частности, z = (0; 0) = 0.

Комплексные числа z = (0; y) изображаются точками на оси OY . Эта ось (в дань исторической традиции) называется мнимой осью, а числа z = (0; y) чисто мнимыми.

Комплексное число (0; 1) называется мнимой единицей и обозначается через i : i = (0; 1) (рис. 1.2).

Иногда удобно представлять

комплексное число z = (x; y) в виде

!

вектора Oz с координатами (x; y), исходящего из начала координат

(т.е. в виде радиус-вектора точки z). В дальнейшем вектор

!

Oz мы часто будем обозначать просто z. Длина этого вектора называется модулем комплексного числа z и обозначается через jzj. Таким образом, jzj равен расстоянию от точки z до начала координат. По теореме Пифагора (см. рис. 1.1)

p

r = jzj = x2 + y2: (1.1)

Угол ' между положительным направлением оси OX и век-

!

тором Oz называется аргументом комплексного числа z и обозначается через Arg z. При этом если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке отрицательной. Для числа z = 0 значение Arg z не определено. Очевидно (см. рис. 1.1), что

6

лишь с точностью до слагаемого 2 n, где n целое число. Удобно ввести главное значение аргумента числа z значение аргумента из промежутка длины 2 , например < ' 6 или 0 6 ' < 2 . Главное значение аргумента числа z обозначается через arg z.

1.2. Действия над комплексными числами

Сумма, разность комплексных чисел и умножение комплексного числа на действительное число определяются точно так же, как действия над соответствующими векторами. Пусть z1 = (x1; y1), z2 = (x2; y2) (рис. 1.3).

Суммой комплексных чисел z1 и z2 называется комплексное число z = z1 + z2 = (x1 + x2; y1 + y2).

Разностью комплексных чисел называется комплексное число z = z1 z2 = (x1 x2; y1 y2).

Таким образом, при сложении и вычитании комплексных чисел соответственно складываются или вычитаются их действительные и мнимые части.

Из рис. 1.3 видно, что jz1 z2j равен расстоянию между точками z1 и z2.

Произведением комплексного числа z = (x; y) на действительное число называется комплексное число z = ( x; y).

7

Так как (см. рис. 1.3) сторона Oz треугольника Ozz1 не больше суммы двух других его сторон, то справедливо так называемое неравенство треугольника:

jz1 + z2j 6 jz1j + jz2j:

Теперь мы можем ввести другую форму записи комплексного числа z = (x; y). Так как (x; 0) = x, (0; y) = (0; 1) y = iy, то

z = (x; y) = (x; 0) + (0; y) = x + iy:

Выражение z = x + iy называется алгебраической, или декартовой формой комплексного числа z.

Рассмотрим теперь операцию умножения комплексных чисел. Вначале вводится произведение i i = i2. По определению,

Обратим внимание читателя на принципиальную важность этого определения. Как известно, квадрат любого действительного числа (изображаемого точкой на оси OX ) будет больше нуля либо равен нулю. Но среди более широкого класса объектов комплексных чисел уже найдутся такие, квадрат которых отрицателен. Для таких чисел соответствующие точки должны лежать вне оси OX.

Произведение двух произвольных комплексных чисел z1 = x1 + iy1 и z2 = x2 + iy2, записанных в алгебраической форме, определяется следующим образом. Следует раскрыть скобки по обычным алгебраическим правилам и упростить полученное выражение, пользуясь равенством i2 = 1:

z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 + iy1x2 + ix1y2 + i2y1y2 = = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2):

Итак,

z1 z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + y1x2):

8

Но лучше не запоминать эту формулу, а выполнять указанные выше действия непосредственно.

Из определения суммы и произведения комплексных чисел следует, что эти операции обладают теми же свойствами, что и соответствующие операции над действительными числами:

z1 + z2 = z2 + z1; z1 z2 = z2 z1;

z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3; z1(z2 z3) = (z1 z2)z3:

Отсюда следует, в частности, что при действиях над комплексными числами применимы все формулы сокращенного умножения. Например,

(z1 + z2)2 = z12 + 2z1z2 + z22; (z1 + z2)(z1 z2) = z12 z22

Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком, называются взаимно сопряженными комплексными числами. Если z = x+iy, то сопряженное число обозначается z = x iy. Точки, изображающие числа z и z, симметричны относительно действительной оси (рис. 1.4).

Нетрудно видеть, что jzj = jzj, arg z = arg z (кроме чисел

z = x < 0; для них arg z = arg z = ). В силу (1.5)

9

Деление комплексных чисел так же, как и для действительных чисел, определяется как действие, обратное умножению. Делить можно только на комплексные числа, отличные от нуля. Чтобы найти частное комплексных чисел z1=z2, заданных в алгебраической форме, следует домножить числитель и знаменатель дроби на z2 и воспользоваться равенством (1.6):

После этого нужно выполнить умножение в числителе и разделить действительную и мнимую части получившегося числа на знаменатель:

Как и в случае умножения, мы рекомендуем не запоминать эту формулу, а усвоить правило нахождения частного.

= 0; 28 0; 96i:

10