4.Простейшие дифф уравнения 1-го порядка

Общим решением уравнения (1) в области Д называется функция , зависящую от одной производной постоянной С и удовл. Следующим условиям:

1)одна удовл.уравнению (1) при допустимых значениях постоянной С.

2)каковы бы ни были нач данные (2) всегда найдётся значение С₀ постоянной С такое, что решение удовл.этим нач данным, т.е.

Всякое решение получаемое из общего решенияпри конкретном значении с=с₀ наз частным решением уравнения (1).

Неявное задание общего решения f(x,y,c)=0, где С произвольная const наз общим интегральным уравнением (1)

Соотношение, которое получ из общего интеграла на конкретном значении С наз частным интегралом уравнения (1)

5 .Уравнение с разделяющими переменными

Дифф уравнения 1-го порядка вида называется дифф уравнением с разделёнными переменными.

Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)

Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида:

Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.

получим:

Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:

есть общий интеграл уравнения (3).

Заметим, что при делении уравнения на произведение могут быть потеряны решения при кот это произведение обращается в 0. Такие решения если будут, то будут особыми.

Значит, чтобы найти особые решения уравнения (3) необходимо прировнять произведение к 0, т.е. и проверить является ли корни уравнения решения для уравнения (3).

5 .Уравнение с разделяющими переменными

Дифф уравнения 1-го порядка вида называется дифф уравнением с разделёнными переменными.

Для его разрешения достаточно проинтегрировать неравенство (1)

Т.о. (2)есть общий интеграл уравнения (1).

Уравнение вида:

Называется уравнением с разделяющимися переменными. Для его разрешения разделим неравенство (3) на произведение.

получим:

Кот относится к классу уравнений с разделяющимися переменными, т.е. к классу уравнений вида (1), а значит выражение:

есть общий интеграл уравнения (3).

Заметим, что при делении уравнения на произведение могут быть потеряны решения при кот это произведение обращается в 0. Такие решения если будут, то будут особыми.

Значит, чтобы найти особые решения уравнения (3) необходимо прировнять произведение к 0, т.е. и проверить является ли корни уравнения решения для уравнения (3).

2.Уравнение первого порядка. Общие вопросы уравнения первого порядка.

Дифф. уравнением наз. равенство, связывающее независимую переменную x и зависимую переменную y с её производной.

Порядок самой старшей производной входящей в задание этого уравнения наз.порядком этого уравнения.

Рассмотрим обыкновенные дифф.уравнения 1-го порядка вида (1):

где F-заданная функция аргументов, F может определить не при всех значениях своих аргументов. Поэтому будем говорить об области определения функции F, D как область задания уравнения (1)’.

Иногда (1)’ удаётся выразить производную y’ через независимую переменную x и зависимую переменную y, то есть получим уравнение вида:

Это также уравнение первого порядка (обыкновенное) уравнение (1) называется уравнением относительно производной.

Уравнение (1)’ –уравнение не разрешено относительно системы производной.

Решением уравнения (1)’ будем называть всякую функцию y=y(x) определена на числовом промежутке которые при постановке в уравнении (1)’ обращает его тождество на интервале промежутка.

Промежуток наз.промежутком опред.решенияy(x).

Следует отличить, что подстановка функции y в (1)’ возможна в том случае, если, когда y(x) имеет первую производную на всем интервале, а также при .

Для описания геометрического смысла решения уравнения разрешенной относительно производной (1) рассмотрим координатную плоскостьOxy.

Функция f может быть определена не во всей плоскости Oxy, а только в некоторой её части – области D.

Относительно D будем считать, что это открытая область, на которой сама функция f и её частное непрерывны тогда решениеy=y(x) в области D опред.некоторую кривую.

РИСУНОК!!!

Эта кривая в каждой точке области D имеет касательную ;tg угла которой равен значению f в этой точке, значит данная кривая является гладкой.

Эта кривая целиком лежащая в области D называется кривой дифф.уравнения(1).

Другими словами интегральная кривая – это график решения; для выделения из всего множества уравнения (1) того решения, которое описывает наблюдаемый процесс, вводят дополнительные условие; требуют, чтобы функция в точке x₀ принимала значение y₀.

Дифф уравнение (1) опред значение производной y’ в любой точке с координат (x,y) в области Д, а значит опр знач условия координатной касательной к интегральной кривой, т.е. направление движения по интегральной прямой.

РИСУНОК

То есть уравнение (1) опред поле направления касательных.

Геометрически задача интегрирования уравнения (1) сводится к поиску интегральной кривой, направление касательных к которым в каждой точке совпадают с направлением поля.

Изоклиной называют геометрическое место точек в области Д, в которых наклон касательных к решению один и тот же.

Уравнение изоклины:

Естественно, что для некоторых дифф уравнений сущ решение, которое во всех своих точках нарушают условия единственности решения, т.е.в любой окрестности в любой точке этого решения сущ хотябы 2 интегральные прямые, проходящие через эту точку, такие решения будем называть особыми.

В частности особым решением будут огибающие семейства интегральных кривых, если следует отметить то, что особое решение не может получить из общего ни при каком возможном значении параметра С (в том числе С=±∞

Поскольку для особого решения нарушаются условия единственности, то можно предложить след этапы нахождения общего решения.

1)найти множество точек, где частная производная обращаются в ∞.

2)если это множество точек образуют одну или несколько интегральных кривых, проверить являются ли они интегральными дифф уравнениями (1).

3)если это интегральные кривые, то проверить нарушаются ли в каждой точке условия единственности решения, т.е. являются ли эти кривые огибающими.