20. Достаточные условия экстремума в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств

(1) (1)

Т-ма1 Пусть в задаче (1),(2) ф-ции дважды непр-но диф. Пусть точкаудовл. класс-му правилу множ-лей Л., т.е. сущ., чтои пусть квадр-я форма вторых произв. ф-ции Л. в т.строго полож. опред. для всех ненулевых векторовудовл. усл., т.е. для всех в-вудовл.(3) выполн. нер-воТогдаявл. т-кой строгого лок. минимума по задаче (1)-(2).

21.Опр-ия выпуклого мн-ва, выпуклой функции. Св-ва выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Св-во неотрицательности остатка выпуклой функции

(1) (2)

Если ф-ция явл. выпуклой на выпуклом мн-веX, то задача (1), (2) наз. задачей выпуклого программирования.

Опр: Мн-во наз выпуклым, если для любых двух точекотрезок, соединяющий эти точки полностью принадлежит этому мн-ву, т.е. _{Примерами выпуклых мн-в могут служить шар произвольного радиуса, гиперплоскоть, все пр-ва.}

Опр: Ф-ция , определенная на выпуклом мн-ве Х, наз. выпуклой, если длявыполняется(1)

Замеч1: Если мн-во X явл. пустым или состоит из одной точки, то ф-цию, определенную на таком мн-ве, считают выпуклой.

Замеч2: Если знак нерав-ва в (1) заменить на противоположный, то ф-ции наз.вогнутой. При выполнении строгого неравенства ф-ция наз. строго выпуклой(Соответственно строго вогнутой ).

Примеры.

1. Ф-ция выпукла

2. Линейная ф-ция одновременно выпукла и вогнута.

3. Ф-ция где А – симметричная неотрицательно определенная матрица размерности, и х – вектор размерности n, выпукла

УТВ:сумма пересеч и умнож мн-ва на число явл. выпуклым мн-вами,если исходные мн-ва-выпуклые.

Пустое мн-во и мн-во состоящ из 1 точки удобно считать выпуклыми.

УТВ: сумма выпуклых ф-ций есть вып ф-ия.

Т1(сво-во неотрицательности остатка)Пусть ф-ция явл. выпуклой, дифференцируемой на выпуклом мн-ве Х, тогдавыполняется

Док-во: Т.к. ф-ция явл.выпуклой, то

.

Т.к. ф-ция явл. дифференцируемой, то приращение этой ф-ции можно разложить в ряд Тейлора:

(*)=

Последнее неравенство делим наи устремимк 0. Теорема доказана.

22.Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции

Теор(о т. мин в-ой ф-ии): Пусть в задаче (1)-(2) ф-ия выпукла, определена на выпуклом мн-ве Х, тогда:1) каждая точка ее локального минимума (если такая сущ-ет), явл-ся точкой глобального минимума;

2) Мн-во решений задачи (1), (2) явл-ся выпуклым;3) если ф-ия строго выпукла, то она может достичь своегоmin не более чем в одной точке.

Док-во: 1) Пусть есть точка глобальнmin ф-ии , т.е.окрестность этой точки, так чтоПустьточкаСоединим эти точки отрезкомТ.к. мн-во Х явл-ся выпуклым , то при всех:при, след-но найдется такое значениечтоПоэтому

что противоречит тому, что т. явл-ся точкой локальнmin.

2) Мн-во - мн-во решений задачиПусть мн-восостоит более чем из одной точки. Возьмем

Рассм. Т.к.ф-ия-выпукла, то

выполняется нер-во

3)Предположим сущ-ет точка Соединим точкииотрезком:

мы нашли точкув которойчто противоречит тому, чтоявл-ся точкой локальногоmin.

Т 2 (о ст-ной точке в-ой ф-ции): Каждая стационарная точка выпуклой ф-ции , определенная на выпуклом множестве Х, явл. ее точкой минимума.

Док-во: Пусть стационарная точка ф-ции, т.е.Рассмотрим произвольную точкуДля точекв силу выпуклости ф-циивыполняется:(3)Т.к. ф-циядифференцируема, то приращение (из (3))=>

.по св-ву неотр

остатка точка минимума..

23. Необходимые усл. минимума дифференцируемой ф-ции на выпуклом мн-ве, выраженные через скалярное произведение. Критерий минимума выпуклой дифференцируемой функции на выпуклом множестве, сформулированный через скалярное произведение.

Замеч1.Если ф-циядифференцируема, но не обязательно выпукла, то усл.может не выполняться в точке минимума ф-ции, т. к. возможна ситуация, когда точкапринадлежит границе мн-ваX.

Теор1. Пусть ф-ция непрерывно дифференцируема на выпуклом мн-веX. Если точка явл. ее точкой минимума, то для всехвыполняется нерав-во

(1)

Док – во. Пусть - точка минимума ф-ции. Тогда сущ., такое чтодля всех. Выберем произвольную точкуи рассмотрим отрезок

Т. к. мн-во X выпукло, то этот отрезок принадлежит мн-ву X и при малых . Для такихрассм.

(2)

Последнее выражение является неотрицательным, так как x* есть тока минимума. Но тогда как и в противном случае при достаточно малыхприращение (3) изменит свой знак на противоположный. Теор. доказана.

Следстивие 1.Если или,то нер-во (1) превращается в равенство

Следствие 2.Усл(2) можно записать в виде

(3)

Теор2. Для того, чтобы выпуклая, непрерывно дифференцируемая ф-ция , определенна на выпуклом, замкнутом мн-ве Х, достигала своего минимума в точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нерав-во

Док-во: Необходимость следует из теор1. Докажем достаточность. Пусть точка x* такова, что выполнена усл. Возьмем произвольную точкуи рассмотримПо св-ву неотрицательного остатка имеем

Замечание 4.Форма (3) необходимого усл. минимума непрерывно дифференцируемой ф-ции на выпуклом замкнутом мн-ве используется для построения метода усл. градиента.

24.Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.

Опр. Расстояние от точки до мн-ваопредел. формулой.Ф-циянепр. поy.

Опр. Проекцией точки y на мн-во X наз. такая точка , для кот.

Задача нахождения точки p наз задачей проектирования точки y на мн-во X. Если решение задачи проектирования , то нормаЗадачу проектир. обычно заменяют равносильной задачей(1)

Задача (1) предст. собой задачу min-ции квадратичной ф-ции

Утв1. Если мн-во явл. Замкнутым и не пустым, тои если, то

Док-во. Пусть . В противном сл.. Рассм. произв. точкуи построим мн-во. Мн-воне явл. пустым, явл. замкнутым и огранич. Поэтому по теор. Вейерштрассапроекция точкиy на Z. В силу постр. мн-ва Z:. Пусть ,.

Предп. противное. . Тогда. Рассм. отрезок, соед. точкиy и p: . Найдется такое, что при. Рассм. расстояние

След-но, p не явл. проекцией.

_Утв2. Если непустое, выпуклое и замкнутое, тоед. проекция

Док-во. Пусть . Тогда очевидно, что, поэтому явл. ед. Рассм., когда. Предп., чтоболее одной проекции,,

Вектора не явл. коллинеарными. Действ-но, если, то. Если, то. Это противоречит тому, что.Рассм..

Нашли точку , такую, что противор., что-проекции.Замеч. Если мн-во не явл. выпуклым, то может сущ. две проекции. Рассм. примеры нахождения проекций точек на мн-ва для некот. конкр. мн-в

1) ; 2) ;;3) ; 4)

Т.к. проекция в любой точке, не принадл. X, будет принадл. границе мн-ва X, то от данной задачи можно перейти к задаче min-ции ф-ции f(x) при ограничении . Т.к.c-ненулевой вектор, сост. классич. ф-цию Лагранжа.Система необх. усл:;

25. Критерий построения проекции на выпуклое замкнутое множество. Необходимые усл. минимума диф. ф-ции на выпуклом мн-ве, выраженные в терминах проекции точки на мн-во. Критерий минимума выпуклой диф. ф-ции на выпуклом мн-ве, сформулированный с помощью оператора проектирования.

Теор1.Пусть непустое мн-во X явл. выпуклым и замкнутым. Тогда точка р явл. проекциейточки у на мн-воX только тогда, когда выполняется усл. для всех.

Док-во. Рассм. ф-цию . Эта ф-ция явл. квадратичной, выпуклой. Мн-воX по усл. Тео. замкнуто и выпукло. Поэтому достигается в точкеэта точка явл.единственной. Тогда по теореме о необходимых и достаточных условиях минимума выпуклой ф-ции на замкнутом, выпуклом мн-ве выполняется усл.для всех.

Но в данном случае Тем самым теор. доказана.

В следующих теоремах выясняется зависимость решения задачи математического программирования и решения задачи проектирования.

Теор2. Пусть точка есть точка локального минимума ф-ции на множестве X. Функция предполагается непрерывно дифференцируемой, а мн-во X выпуклым и замкнутым. Тогда для произвольного справедливо равенство.Док-во. Пусть . Тогда выполняется усл.(1)Пусть . Преобразуем последнее равенство к видуи подставим в формулу (1). Получим. Тогда по теор1 заключаем, что. Теорема доказана.

Теор3. Пусть ф-ция явл. выпуклой, непрерывно дифференцируемой, мн-воX выпуклым и замкнутым. Точка есть точка локального минимумадля произвольногосправедливо рав-во.

Док-во. Необходимость следует из теоремы 2.

Докажем достаточность. Пусть выполняется усл. . Тогда по теореме 1 имеемиз чего следуети.

Тогда по критерию локального минимума выпуклой ф-ции на замкнутом выпуклом мн-ве заключаем, что есть точка локального минимума ф-циина мн-веХ. Теорема доказана.