- •1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
- •2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
- •3. Критерий угловой точки множества.
- •4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
- •5. Связь между переменными злп.
- •7. Построение симплекс-таблицы. Достаточное условие оптимизации в задаче лп. Достаточное условие неразрешимости задачи лп.
- •8. Итерация симплекс-метода.
- •9. Обоснование конечности симплекс-алгоритма.
- •10. Обоснование непустоты множества планов в злп. Пример.
- •11.Нахождение базиса угловой точки. Пример. Св-во решений злп.
- •12. Свой-ва решений злп.
- •13. Постановка тз. Построение плана перевозок методом северо-западного угла.
- •14.Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.
- •Замечание Транспортная задача, для которой выполняется условие (1) называется закрытой, в противном случае – открытой.
- •15.Исследование множества клеток транспортной таблицы.
- •16.Достаточное условие минимальности стоимости перевозок
- •17. Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
- •18. Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
- •20.Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
- •21.Метод исключения решения задачи на усл минимум. Пример.
- •23.Классич правило мн л в задаче опт-ции с огранич типа равенств. Необходим условия первого и второго порядка в задаче опт-ции типа равенств.
- •24.Достат условия экстремума в задаче опт-ции с ограничениями типа равенств.
- •25. Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
- •27. Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
- •Пример . Множ-во решений задачи min-ции f(X)
- •28.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
- •29.Метод золотого сечения.
- •30.Метод ломаных. Обоснование и алгоритм. Пример.
- •31.Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одомерной минимизации
- •33. Алгоритм метода условного градиента
- •Теорема3
- •35. Сходимостсь метода скорейшого спуска
- •36. Постановка задачи вариационного исчисления. Пр.
- •Определим множество:
- •Замечание
- •37. Метод вариаций лагранжа Пусть в задаче , где и исследуется на минимум кривая , тогда все допустимые кривые X(t), из множества X можно представить в виде:
- •38. Уравнение Эйлера.
- •39. Случай интегрируемости ур-ния Эйлера. Пример.
- •40. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
- •41. Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
- •42. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой коцом.
- •43. Примеры задач динамического программирования, их особенности.
- •44. Принципы динам програм и функцон ур-ния Беллмана.
- •45. Постановка задачи оптимального быстродействия.
- •46 Достат условия оптимальности для линейной задачи оптимального быстродействия (зоб).
- •47. Пример решения задач оптимального быстродействия.
Понятие решения задачи математического программирования.
Основные формы задач ЛП. Правила сведения задачи ЛП к канонической форме. Геометрическая интерпретация задачи ЛП. Понятие угловой точки множества.
Критерий угловой точки множества.
Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.
Связь между переменными задачи ЛП.
Формула приращения целевой функции задачи ЛП.
Достаточное условие оптимальности в задаче ЛП. Достаточное условие неразрешимости задачи ЛП.
Итерация симплекс–метода.
Обоснование конечности симплекс – алгоритма.
Обоснование непустоты множества планов в ЗЛП. Пример.
Нахождение базиса угловой точки. Пример.
Свойства решений ЗЛП.
Постановка транспортной задачи (ТЗ). Построение начального плана перевозок методом северо-западного угла, методом минимального элемента.
Определение закрытой модели ТЗ. Крит существования решения ТЗ.
Исследование множества клеток транспортной таблицы.
Достаточное условие минимальности стоимости перевозок.
Определения выпуклого множества, выпуклой функции. Свойства выпуклых множеств. Сумма выпуклых функций. Свойство Лебега выпуклых функций. Свойство неотрицательности остатка выпуклой функции.
Теорема о точках минимума выпуклой функции. Теорема о стационарной точке выпуклой функции.
Необходимые условия минимума дифференцируемой функции на выпуклом множестве, выраженные через скалярное произведение. Критерий минимума выпуклой дифференцируемой функции на выпуклом множестве, сформулированный через скалярное произведение.
Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.
Метод исключения решения задачи на условный минимум. Пример.
Обобщенное правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств.
Классическое правило множителей Лагранжа в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств. Необходимые условия второго порядка в задаче оптимизации типа равенств.
Достаточные условия экстремума в задаче оптимизации с ограничениями типа равенств.
Задача проектирования на выпуклое и замкнутое множество. Свойства проекции. Примеры.
Критерий построения проекции на выпуклое замкнутое множество. Необходимые условия минимума дифференцируемой функции на выпуклом множестве, выраженные в терминах проекции точки на множество. Критерий минимума выпуклой дифференцируемой функции на выпуклом множестве, сформулированный с помощью оператора проектирования.
Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.
Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации.
Метод золотого сечения решения задачи одномерной минимизации.
Обоснование и алгоритм метода ломаных решения задачи одномерной минимизации. Пример.
Обоснование сходимости метода ломаных решения задачи одномерной минимизации
Алгоритм метода скорейшего спуска решения задачи многомерной минимизации.
Алгоритмы метода условного градиента и метода проекции градиента решения задачи многомерной условной минимизации.
Алгоритм метода покоординатного спуска решения задачи многомерной минимизации. Геометрическая иллюстрация.
Сходимость метода скорейшего спуска.
Постановка простейшей задачи вариационного исчисления. Примеры.
Метод вариаций Лагранжа.
Уравнение Эйлера.
Случаи интегрируемости уравнения Эйлера. Примеры.
Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.
Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования.
Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой концом.
Примеры задач динамического программирования, их особенности.
Принципы динамического программирования и функциональные уравнения Беллмана.
Постановка задачи оптимального быстродействия. Принцип максимума Понтрягина.
Достаточные условия в линейной задаче оптимального быстродействия.
Пример решения задачи оптимального быстродействия.
1. Понятие реш задач мат программирования. Постановка задач линейного программирования. Примеры. 1.
Пусть на некотором мн-ве XRn задана скалярная ф-я f(x), точки xX назыв допустимыми, а X – допустимым, f(x) – целевая ф-я.
Задача мат-го программирования (ЗМП) заключ в нахождении min ф-ии f(x), если xX. (1)
Под реш ЗМП понимают:
найти точку min ф-ии f(x) на мн-ве X, т.е. найти x*X:
f(x*) <= f(x), xX (2) или x*X: f(x*) = minxX f(x) (3)
или x* = ArgminxX f(x) (4)
найти точную нижнюю грань ф-и f(x): infxX f(x) = f* (5)
Пусть X* = {xX: f(x) = f* }
Если X* , то найдя одно из значений (2) – (4), то автоматчески решается зад (5)
Если X* =, то (5) приобретает самостоятельное решение
Убедиться в том, что ф-я f(x) неограниченна снизу на X, т.е f* = -
убедиться в том что X=
В случаях 3) – 4) говорят что задача (1) не имеет решений
ПОСТАНОВКА ЗЛП
Общая ЗЛП формулируется следующим образом:
(x) = c1x1 + c2x2 + … + cnxn min
при условиях xi 0, iI{1,…,n}
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn b1
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn bm
am+1,1x1 + a m+1,2x2 + … + a m+1,nxn = bm+1
…
as,1x1 + a s,2x2 + … + a s,nxn = bs
где ci aij bi – заданные числа причем не все ci , aij = 0
Мн-во I м.б. , а может совпадать со всем мн-вом индексов. Не искл случай, когда m=s, т.е. когда нет огран-й рав-в, или m=0, т.е. когда нет ограничений нерав-в
Введем в рассм векторы:
с = (с1, … , сn) ai = (ai1, … , ain) x = (x1, … , xn)
Тогда Г(x) = (c,x) min
xX = {xRn : xi 0, iI, aix bi, i=1,m , aix = bi, i=m+1,s}
или
Г(x) = (c,x) min _ _
xX = {xRn : xi 0, iI, Ax B , Ax = B}
a11 … a1n _ am+1,1 … am+1,n
A = ( … ) A = ( … )
am1 … amn as1 … asn
b1 _ bm+1
B = ( …) B = ( … )
bm bs _
Вектор c – вектор стоимости, вектор [BB] – вектор ресурсов,
матрица [A] – матрица условий . Вектор x – вектор планов
A
2 . Основные формы задача лп. Правило сведения злп к канон форме. Геометр интерпр злп. Понятие угловой точки мн-ва
В ЛП выделяют 2 основных формы задачи:
1) Каноническая форма ЗЛП
Г(x)=(c,x)max
xX={xRn: x0, Ax=b; b0}
2) Нормальная форма ЗЛП
Г(x)=(c,x)max
xX={xRn: x0, Axb; b0}
Можно перейти от одной задачи к другой.
Любая ЗЛП сводится к канонической с помощью:
если в исходной постановке ищется min целевой ф-ии (c,x) min, то –(c,x) превращает исх задачу в задачу о max.
если bi<0, i{m+1,…,s}, то соотв ограничения умножаем на (-1), чтобы превратить правую часть в положительную.
если m0, т.е. в исх постановке присутствуют огранич нер-ва то вводятся xn+10, … ,xn+m0 и ограничение нер-ва приводят к виду
(ai,x) + xn+i = bi , bi0 и -(ai,x) - xn+i = -bi , bi<0
переменные xn+1, … ,xn+m назыв свободными, они характеризуют величину неиспользованного ресурса.
если на некот переменную не наложено ограничение на знак, то делают замену xi = xi’ + xi’’, xi’0, xi’’0
c соотв изменением целевой ф-и, если xi<0 то замена xi = -xi
в некот задачах м присутствовать двусторонние прямые ограничения 0xidi , тогда правое нер-во относится к основным ограничениям и применяют 3)
двусторонние прямые ограничения вида cixidi сводятся к
0 xi-ci di-ci или 0 xi’ di-ci с соотв изменениями в целевой ф-и
При помощи данных преобразований произв ЗЛП сводится к канон форме. Решение этих задач эквивалентны, т.к. из реш одной задачи легко получить реш второй задачи.
КРИТЕРИЙ УГЛОВОЙ ТОЧКИ
Рассм задачу
(c,x)max, xX
X={xRn : Ax=b, b0, x0}
УГЛОВОЙ т мн-ва XRn назыв точка xX, кот не может быть представлена как точка отрезка x()=x1+(x2-x1), (0,1), x1,x2X для любых произв т. x1,x2X
ТЕОРЕМА (критерий угл т)
Пусть Aj, j=1,n столбцы А, тогда осн ограничения м записать в виде A1x1+…+Anxn=b. Предположим что А имеет ранг r, т.е. rangA=r>0 Для того чтобы xX была угловой точкой чтобы существовали номера j1,…,jr , 1jpn, что верно:
Aj1x j1+…+A jr x jr = b,
x jp >0, p{1,..,r} ,
A j1,…, A jr ЛНЗ
A j1,…, A jr назыв базисом угловой точки
x j1,…, x jr назыв базисными корд, а остальные коорд – небазис.
Если все базисные коорд т. x строго >0 , то x – невырожденная, иначе вырожденная.
Следствие. Если т. xX невыр. угловая т мн-ва X, то у нее
базис. У вырожд угловой т несколько базисов.