33. Метод золотого сечения решения задачи одномерной минимизации.

МЗС позволяет решить задачу с требуемой точностью при меньшем кол-ве вычислений значения функции.

Опр. Золотым сечением отрезка наз деление отрезка на 2 неравные части так, что отношение длины меньшей части к длине большей равно отношению длины большей части к длине всего отрезка.

Т-ки, кот. делят отрезок в золотом отношении

Описание МЗС. Решаем задачу . Положим а1=а,b1=b и найдем точки х1 и х2, котор делят [a1;b1] в золотом сечении. Вычислим и. Если, то положим а2=а1,b2=x2, . Если, то а2=х1,b2=b1, . Длина построенного отрезка [a2;b2] равна и точка, кот. делит отрезок [a2;b2] в золотом отношении.

Пусть на некотор. этапе найден отр-к , найдены т-ки х₁, ,…,и вычислены значения,f(),…,f(). Длина отрезка . И на отрезкеесть т-ка, кот. делит этот отрезок в ЗО и в кот. вычислено значение целевой функции.

Определим следующ. т-ку по правилу .

Предположим, что (). Вычислим знач. ф-ции в т-ке.Если выполняется неравенство, полагаем. Если, то, в результате получим отрезок, имеющий непустое пересечение с мн-вом решений задачи, длина кот.

Если количество вычислений значений целевой ф-ции ничем не огранич., то процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не будет выполнятся неравенство

Если количество вычислений значений целевой ф-ции ничем огранич., то процесс вычислений заканчивается, когда будет выполнено заданное число итераций. В качестве точки минимума выбираем т-ку с вычисленным в ней значением целевой ф-ции.

Погрешность этого метода:

Замечание. Преимуществом МЗС явл. тот факт, что на каждой итерации знач. ф-ции вычисляется только один раз.

Замечание. МЗС можно применять для нахождения минимума функции не являющейся унимодальной. Но в этом случае решение может находиться далеко от глобального минимума.

34. Обоснование метода ломаных решения задачи одномерной минимизации.

Метод ломаных применяется для решения задачи (1), без требования унимодальности ф-ции f, но эти ф-ии должны уд. усл. Липшица.

Опр. Говорят, что ф-ция уд.усл. Липшица на [a;b], если , что. (2) Геометрическое усл.Липшица означает, что угловой коэф-тхорд, кот соединяют две произвольные точки графика ф-цийy=f(x) не превосходит константы L.

Если ф-я уд.усл. Липшица на [a;b] то она явл-ся непрерывной на [a;b].

Т1: Пусть f(x)-определена и непрерывна на [a;b] и на каждом [ai;ai+1], где а=a₁<a₂<…<a_n<a_n+1=b уд. усл. Липшица с конст Li, тогда f(x)уд. усл Лип на всем отр-ке [a;b]с конст L=maxLi.

Д-во: выберем произвольные x,y из отрезка [a,b]. Предположим, что т-ка .

Рассм.модуль разности

Т2: Пусть f(x)–дифер на [a;b] и её производная огр-на на [a;b], тогда эта ф-ция уд. усл. Лип с конст. L=sup|f’(x)|

Д-во: т.к. ф-ция f(x) диф-ма, то по формуле конечных приращений приращение ф-ции

Отсюда и из ограниченности производной следует утв. теоремы.

Пусть ф-я f(x) удовлетворяет на [a;b] условию Липш (2) с константой L. Зафиксируем некоторую точку y из [a;b] и построим ф-цию

,

_,

g(y,y)=f(y)

. Ф-ция g явл. кусочно-линейной ф-цией, ее график есть ломаная с углами наклона L (до y) и –L (после y) и в т-ке y g(y,y)=f(y).

Рассмотрим нерав-вот.е.,.