16. Классический метод решения задачи безусловной минимизации функции многих переменных. Пример.

Под кл. методом подразум. подход к поиску точек экстремума ф-ций многих переменных, кот. основан на дифференц. исчислении.

Т1 Вейерштрасса(о достижении верхней и нижней граней непрер. ф-ции., опред-й на огранич. замкнут.мн-ве). Пусть в задаче мн-во, ограничен-е, замкнутое, а ф-цияопределена, конечна и непр-на наX. Тогда

След.Пусть X - замкнуто, непреп. наX и сущ. Точка ,такая, что мн-воограничено.Тогда.

Т-ма2.Пусть ф-ция диф-ма в точке. Еслиy есть точка лок-го минимума ф-ции ,то выполн. усл.стационарности .Д-во. Возьмем произв. точку и построим приращение аргумента где . Рассм. Приращ. ф-ции в точкеy, которое разложим на основании опред.диф.ф-ции Разделим последнее равенство на и устремимк нулю. В пределе получим нерав-во В соотн.(3) положим из чего получим нерав-во котрое может выпол. Только при усл.

Зам1.Точки , для кот. выпол. Рав-во, наз. стационарными. Поиск точек минимума можно начинать с реш-я системы n ур-ний с n неизв-ми величинами Зам2.Не всякая стац. точка явл. точкой лок. экстр. Пример1.Исслед. на экстр. ф-ю двух переменных .Р-е.Выч. градиент данной ф-и Из усл. стац. получаем одну точку (0,0), подозрит. на экстр. Знач. ф-и в стац. т-ке равно нулю:.Ноиз чего след., что т-ка (0,0) эктр. не явл.Т-ма3.Пусть ф-ция дважды диф-ма в точке. Если у есть точка лок. миним. зад. (1),то матрица, составленная их вторых частных производ. ф-ии f в точке y, неотриц. Определена,т.е. для всех вып. нер-во Д-во Рассм. Приращение цел. ф-ии в т. y соотв-щее приращ. аргум. где малое,- произв. в-орТ.к. ф-яf дважды диф., тосправедливо

Т4 (достат.усл.оптим-ти). Пусть в з.(1) ф-я f(x) дважды диф-ма. Т-ка строго полож.опред-на,т.е. .Тогдаy есть решение з.(1) Док-во. Пусть в т. у вып-ны усл-я т-мы, но т. y не явл. Реш. з.Это означает, что сущ. Посл-ть точек Представим ,. Рассм. и учтем ПолучимПолучим противоречие, кот. док-ет т-му.Пример.Исслед. на экстр. ф-ю .Строим матрицу 2-х произв.Подст.по крит.Сильвестра полож.опред. Т.т-ки минимума.

..Квадр.ф-я не явл. знакоопред. поэтому не вып-но необход.усл.2-го порядка и в т-хнет экстр.В т-ме3 и т-ме4 при исслед.з. наmax знакоопред-ть квадр-й формы следует поменять на противоположную.

17. Метод исключения решения задачи на условный минимум. Пример.

Рассм.(1) (2).

Предпол-ся, что ф-ции определены и имеют производные 1-го порядка на всем пр-ве.

Если систему ограничений (2) можно представить в виде , то зад. (1),(2) свод-ся к зад. безусловной минимизации..

Теорет-я возможность применения такого метода исключ.основывается на т-ие о неявных ф-ях.

Т1 о неявных ф-циях. Пусть рассм. m-мерная ф-ция .Изв.т.,для кот.,тогда сущ.m-мерная ф-я , уд.усл.:1)_;2);3.имеет в непрер-е производные того же порядка, что и ф-цияпо.

Т2. Метод искл.реш-я в з. (1),(2)применим, если в окрестности точки минимума ф-цииф-циидиф-мы и.

Д-во: Из усл.(3)=>что у м-цы сущ.хотя бы 1 ненулевой минор порядкаm.Предпол-м, что минор распол-ся в первых m строках этой матрицы.В противном случае переобозн. переменные.В принятом предпол-и обозн. Первые m компонент в-ра x через z, а ост-е n-m компонент через в-ор u.Набор ф-ий тогда обозн. ч/з. Тогда система огран-ийпримет види для этой ф-ии в т.вып-ны все усл. т-мы1.

Замечание. Возможность прим-ия метода искл. сущ-но огранич-ся сложностью решения с-мы урав-ий в явном виде.

Пример1.Исслед. на экстр. ф-ю .

; ;

;

(0;-2)-стац точка.

-знакопеременна(не вып.необход.усл. 2-го порядка).Т.(0,-2) не явл.экстр-й для ф-ии g..Исх.ф-я экстремума не имеет.