13. Определение закрытой модели тз. Критерий существования решения тз.

Опр: Транспортная задача, для которой выполняется усл (1) наз. закрытой, в противном случае – открытой.

ТЕОРЕМА 1:Транспортная задача имеет решения тогда, и только тогда, когда (1)

1. – наз.условием баланса.

Док-во. Необходимость. Пусть решение транспортной задачи сущ. ,

. ,

Достаточность. Пусть выполняется условие баланса (1) Построим след.план перевозок

,

Из условия следует, что множество планов является замкнутым. Кроме этого оно является ограниченным. Действительно, если возьмем любую перевозку. Целевая функция является линейной, следовательно и непрерывной. Отсюда по теореме Вейерштрасса решение задачи существует.

Замеч.Открытую ТЗ можно свести к закрытой след. обр:

1. если , то вводим фиктивный пункт производства с запасами продукции в нем в кол-веи нулевыми стоимостями перевозок из него.

2. Если то вводим фиктивный пункт потребления с потребностямипродукции в нем и нулевыми стоимостями перевозок в него.

14. Исследование мн-ва клеток транспортной таблицы

Мн-во всех клеток трансп. табл. обозначим _U

Опр. Цепью назовем посл-ность клеток, в которой каждые две соседние клетки лежат в одной строке или в одном столбце, но ни в одной строке и ни в одном столбце нет трех послед.клеток.

Опр.Циклом наз. цепь, крайние клетки которой лежат в одной строке или в одном столбце.

Замеч.Если в трансп. табл. соседние клетки соединить отрезками прямых (звеньями цепи), то соседние звенья всегда будут перпендикулярны.

Опр. Мн-во клеток наз. Базисным , полным, если их кол-во равно_m+n-1 и из его элементов невозможно создать ни одного цикла.

Все остальные клетки наз. небазисными

Опр. План перевозок из i в j наз. базисным, если все перевозки за исключением_m+n-1 равны 0, а остальные находятся в клетках, составляющих базисные мн-ва клеток.

Опр. Перевозки , где (i,j) наз. базисными, а если (i,j) , то небазисными.

Опр. Базисный план наз. невырожденным, если все базисные перевозки строго >0, в противном случае – вырожденным.

15. Достаточное условие минимальности стоимости перевозок

;(1)

;

Выпишем ограничения ТЗ

=

=

……………………………

=

+ + … +=

………………………………

++ … +=

Каждое ограничение на предложение умножим на нек. перем величины ,a каждое огр на спрос умножим на . Полученное выражение вычтем из целевой ф-ции (1):

Выберем значение перем таким образом чтобы выполн рав(2)

Решение с-мы (2) назыв потенциалами. С-ма ур. (2) имеет более одного решения т.к. сост из m+n-1 неизв величин. В качестве потенциалов можно выбрать любое решение с-мы (2). Вычислим величины по небазисному мн-ву клеток.

ТЕОР.Выполнение нер-ва по небазисному мн-ву клеток (i,j) является достат. для оптимальности плана перевозок.

Док-во. Из рав-ва (1) следует, что если значения небазисных перевозок для которых>0 изменить на положит., то ст-ть перевозок увеличится, или не изменится. С другой стороны, если существует<0, (i,j), то путем увеличения соотв. значения перевозки с нулев. на положит.стоимость перевозок можно уменьшить.

Изменяя знач. Небазисной перевозки, для кот. <0 необходимо изменить другие значения базисных перевозок т.о. чтобы выполнялись все ограничения задачи и кол-во базисных перевозок осталось равным _m+n-1.