4. Определение базиса угловой точки. Невырожденные угловые точки. Примеры.

Опр. Система векторов входящие в рав-во , еслиназ. базисом угловой точки х, координатыназ. базисными, остальные координаты – небазисными.

Опр. Если все базисные координаты точки х строго больше 0, тогда точка х называется невырожденной.

Следствие. Если точка х – невырожденная угловая точка, то для нее существует единственный базис. Вырожденная угловая точка может обладать несколькими базисами.

Пример:

–невырожденная угловая точка, проверим это.

, , где,.

–вырожденная угловая точка, так как при рассмотрении рав-ва , гдеточка– не является угловой точкой, так как.

Зам: Из nстолбцов м-цы А можно выбрать r ЛНЗ столбцов конечным числом способов, поэтому число угл.т. мн-ва Х конечно.

5. Связь между переменными задачи лп

Пусть ,Аm*n,. Из системы осн. ограничений можно удалить ЛЗ ур-я, тогда. Если, то системаимеют единств. решение. Если это реш-е не уд. прямым огр-ям, то, иначе. Рассм. Найдена угл. т-ка,- базисные компоненты,. Базис состоит из- ЛНЗ.Обозначения:

Умножим на:

Т.к. у – угловая, то , т.е.. Рав-вом. привести в виду. Из определения В(*) примет вид:. Из (3) выражаем- (4), обозначаем(3) перепишем в виде:(5)

(3), (4), (5) – зависимость между базисными и небазисными переменными.

6. Формула приращения целевой функции злп.

Рассм знач целев ф-ии в некот точке , т.е.

,

На основании того, что y есть угловая точка, имеем рав-ва

Поэтому (1),

где

Вектор в-р оценок. Он имеет размерность n − r.Заметим, что величины имеют смысл и при k =.

Действительно, при k=по определению обратной матрицы имеем, где черезобозначен единичный вектор с единицей в k-ой координате.Поэтому

Замеч: Величина имеет смысл и дляk=1,…,r; действительно, - единичный в-р

Замеч:Величинаполностью определяются коэф. матрицы, в-раи бази-сом угловой точки, при этом не зав-т от в-ра ресурсов

Замеч: Из (1) виден физический смысл оценок. Величиныпредставляют собой взятую с обратным знаком скорость зменения целев ф-ии при измененииi-ой небазисной переменной.

7. Достаточное условие оптимальности в злп. Достаточное условие неразрешимости злп

Исходную задачу ,можно переформулировать след. обр.: найти максимум ф-ции, гдепри ограничениях:,

где

и неотрицательности.

Будем искать некот. точку , в которойне уменьшится по сравнению с найденным знач. в точкеy.

Выберем некот. небазисную перем. ,и будем подбирать для нее неотрицат. значения. Остальные базисные перем.,,. Тогда соотнош.

примет вид:, а выражение целевой ф-ции.

Достаточное усл. оптимальности: Т.: Если , то планy является оптимальным.

Рассм. произв. точку и целев. ф-ю

Достаточное усл. неразрешимости:

Т.: Если найдется небазисная переменная точки упри,к=r+1,n, то целевая ф-ция неограниченно возрастаетна Х.

Док-во: в усл. Теор. Любой выбор полож. Небаз. Коорд. Приводит к построению точки, удовлт. Всем огр-ниям задачи, увеличивая только знач Хк, а остал оставляя без изм-ия, можно неогр увелич зн целевой ф-ции.