46. Задача вариационного исчисления с движущимся по кривой концом.

Рассм. задачу где,значениезадано, левый конец траектории зафиксирован, правый конец траектории явл. подвижным, то есть лежит на заданной кривой

Таким обр, необходимо найти точку и функцию, определяется на отрезке, для которых функционал достигает минимальное значение при условиях

Теор: Если явл. слабой минималью в простейшей задаче вариационного исчисления с фиксированным левым и подвижным правым концом то она уд. ур-нию Эйлера, граничным усл.и условию трансверсальности на правом конце.

Замечание Если левый конец траектории тоже является подвижным(лежит на гладкой кривой (x=) , то экстремаль удовлетворяет дифференциальному уравнению Эйлера, краевым условиеми условиям трансерсальности,

47. Примеры задач динамического программирования, их особенности

Динам программирование (ДМ) (динам планирование) – это метод нахождения оптим реш в задаче с многошаг структурой. Многие эконом задачи раздел на шаги естеств образом, это н-р, процессы планир и управления развиваемые во времени. Естеств шагом в них может быть год, квартал, месяц и т.д. Однако МДП может исп при реш задач, где время не фигурирует. Разделение на шаги в таких задачах вводится искусственно, поэтому динамика ЗДП заключ в методе реш-я. К ЗДП относ задачи перспективного и текущ планирования во времени, задача многошагов нахож-я оптимума при размещ производит сил, задачи оптим быстродействия.

Выделим особенности ЗДП:

1. в задаче рассм система, состояния кот в каж мом времени t опред вектором . Дальнейшее изменение состояние системы зависит от дан состоянияи не зав от того, каким путём система пришла в это состояние. Такие процессы наз проц без последействия.

2. на каж шаге выбирается одно решение ( управление), под действ кот система переходит из предыдущ состоянияв след состояние. Это нов состявл ф-ей сост-яна начало интервала и принятого в начале интервала решения, т.е..3 Действ на каж шаге связаны с опред выигрышем (доходом, прибылью) или потерей (издержками), кот зависят от состояний на начало шага и принятого решения.

4. На векторы состояния и управления может быть наложены ограничения, объединение которых представляют область допуст значений.

5. Требуется найти такое допустимое управление для каждого шага_t, чтобы получить экстремальн значение ф-ции цели за все _T шагов.

Любую допустимую посл-ть действий для каж шага, переводящую систему из нач состояния в конечное наз стратегией управления. Допуст стратегия управления, доставляющая цели экстрем значение наз оптимальной.

Пример Задача перспективного планирования.

Пусть планируется деятельность группы из _N промыш предприятий (пр)на перид_Т хоз лет. В нач период на развитие системы пр выделены некот ср-ва в кол-ве _K, кот д\б распределены между пр. В проц деят пр вложенные в него ср-ва частично амортизируются. Каж пр за год приносит доход в зависит от вложен ср-в, часть которого отчисл в фонд пр. В нач каж хоз года имеющ ср-ва перераспределяются между пр-ями. Возник задачи определения объема ср-в в нач каж года, кот нужно выделить каждому пр-ю чтобы суммарн чистый доход за Т лет был максимальным.

В этой задаче проц принятия решения разбив на _T шагов. Управление этим процессам заключ в нач и последовательном распред ср-в , гдеесть объем ср-в , выделенныхi–ому предпр в нач t–го года. Состояние системы опис вектором , гдесостi–го предпр. на нач t–го года. В свою очередь состояние каждого пр-я явл вектором, компонентами кот служат труд ресурсы, осн фонды, фин положение и т.д. Очевидно, что вектор управления есть ф-ция состояния системы на начало соотв периода, т.е.. Нач сост системы может быть заданным. В кач целевой ф-ции часто рассм суммарн прибыль объединения пр-й за Т хоз лет. Управлениевыбирается из некот мн-ва, кот может быть описано как мн-во эконом возможностей, определ различ ограничениями, налагаемыми на состояние системы и вектор управления