41. Метод вариаций Лагранжа

Пусть в задаче , где

и

Пусть на кривой дости-тся минимум, тогда все допустимые кривые x(t), из мн-ва X можно представить в виде:

Тогда рассм. приращение функционала:

=/ в силу дифференцируемости ф-ции F/=

=

(т.кминимально), гдебесконечно малая велич.

Первый интеграл наз. 1-вой вариацией функционала.

В таком разложении приращения функционала, кривые имеют произвольную природу, что влечет за собой сложность исследования. Представим кривыев виде однопараметрического семейства ф-ций:

Для таких приращений функций рассмотрим приращение функционала:

где

наз. первой вариацией функционала. Т.к

( на кривой подозрительной на минимум)

Замечание:Необходимое условие оптимальности в силу произвольности ф-цийявляется неудобным для использования на практике.

42. Уравнение Эйлера

Лемма Дюбуа-Реймона. Если рав-вовыполнено для некоторой непрерывной ф-иии всех непрерывных ф-ий, уд.условию, то=с на.

Док-во. Пусть. Для ф-ии, кот.уд.условиям леммы, рассм..(1). Вместо в (1) подставим. Тогда, т.к.-непрерывная ф-ия.

Следствие.Если -непрерывная ф-ия, то.

Теорема. Пусть кривая явл. минималью в простейшей ЗВИ, то на ней выполнено ДУ Эйлера(2) с краевыми условиями (3). Док-во. Пусть кривая явл минималью ПЗВИ, то,где,Рассмотрим

Тогда

Используя следствие к лемме получим (4). Ур-ние (4) наз. интегр.уравн.Эйлера, его решение называется экстремалью. Перепишем (4) так. В правойчасти стоит ф-я диф. поt, значит и в левой части стоит ф-я диф. по t,

43. Случаи интегрируемости ур-ния Эйлера. Примеры.

1-й сл. .

, , т.к. задача явл. вырожденной, тогда

В задаче о кратчайшем расстоянии между 2мя точками плоскасти функционал имеет вид

2й сл. .

В этом сл.ур-е Э-ра ,.

Для того, чтобы найти ур-я (1) рассмотрим:

Если ф-я x(t) явл решением ур-я (1), то

Отсюда получим, что первый ур Эйлера в этом случае имеет вид:.

3й сл. .

Тогда ур-е Эйлера им. вид:

4й сл. .

,

Если рав-во (3) не явл тождеством, то оно определяет некоторую линию x=x(t), кот-я удовл-ет граничным условиям лишь в исключит-ых случаях.

Если же ур-е (3) явл тождеством, то подинтегральное выраж-е представляет собой полный дифф-л некоторой ф-и, тогда значение интеграла

Значение интеграла не зависит от вида кривой, соединяющей граничные точки.

Пример. Исследовать на extr функционал

0=0 явл тождеством, значит ф-я подъинтегральная явл полным дифф-м, т.е.

, ,

тогда

44.Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и фиксированным отрезком интегрирования.

Отрезок задан, значенияне закреплены, т.е. рассматривается задача поиска минимума функционала

(1) где ф-ция .

Теор1. Пусть функция =доставляет слабый локальный минимум (1). Тогда эта ф-ция уд. ур-нию Эйлера.

и краевым усл.

Док-во. Рассм вариации Лагранжа , где.

И необходимое усл. минимума , где.

И образуем 1-ую вариацию функционала:

(2)

Т.о. доказали теор 1.

Замеч: Если левый или правый конец траектории закреплён, то первое или второе из условий (2) заменяется или.

45.Задача вариационного исчисления с незакрепленными концами и нефиксированным отрезком интегрирования

Рассм. задачу (1) где определена и непрерывна со всеми частными производными до 2-ого порядка включительно.Ищем(1) при усл. когда отрезок [] не фиксирован. Значение ф-ии на концах отрезка не заданы. Пустьявл решением рассм.задачи.Тогда найдётся такие,что криваяуд. уравн Эйлера и краевым усл.,(2). Определим усл. для значений . Рассмгде- произвольные приращения интервала,. И предположим продолжимость решенияна отрезок [], если это необходимо. Рассмотрим-(3)

В (4) рассм, разделим наи.

,тогда(4)

,.

(5)

(4) должно выполняться для . Значит (4) и (5) должны выполняться одновременно. Значит:

(6)

В (7)произвольны и независимы друг от друга, поэтому(7)

Т.о. справедлива теор 2.

Теорема 2. Если доставляет слабый минимум функционалу (1) в задаче с незакреплёнными концами, то криваяудовл ДУ Эйлера (2) и усл. (6) и (7).