29. Связь между двойственной и прямой задачами математического программирования.

Имеется задача(1):

Которую можно переформулировать в(2):(2)

Рассм. задачу двойственную к (2). Пусть

Двойственная задача имеет вид:

Теор: Для им. место нер-во

Док-во: По опр-ию ф-ии . Если

То Переходя в последнем нер-ве к точной нижней грани по мн-ву, получаем нер-во_. Остальные два нер-ва в (5) очевидны. Теорема доказана.

Теорема. Если задачи (2) и (4) имеют решение, т.е. мн-вото ф-я Лагранжаимеет седловую точку на мн-веи обратно, еслиимеет седловую точку, то задачи (2) и (4) имеют решение.

Док-во.Необходимость.Пусть задачи (2) и (4) имеют решение, т.е. выполнено (5). Возьмем т. . Покажем, что т.седловая точка ф-ии Лагранжа.

Рассм. значение

Выполняется усл. седловой точки, т.к. т.е.

Достаточность.Пусть ф-я Лагранжа имеет седловую точку, т.е.

Т.о. , т.е. задача имеет решение.

Следствие1.След. утв. равносильны:

1.Т. -седловая точкана.

2. Задачи (2) и (4) имеют решение, т.е.

3.Сущ. такиечто

4. Справедливо равенство

Следствие2. Если и- седловые точки ф-иина, то точкии-седловые точки ф-ии Лагранжа, причем значения ф-ииво всех этих точках равны между собой.

30.Пример решения задачи оптимизации с помощью теории двойственности

Для правильности нужно под каждым inf поставить и в место 2 систем поставить оду с 4 уравнениями.

31.Основные определения в задаче одномерной минимизации. Примеры.

Рассмотрим задачу:

Считаем, что принимает наX конечные значения. Произвольное решение этой задачи будем обозначать ч/з , мн-во решений ч/з.Таким обр,.

Опр. Посл-ть наз. минимизирующей для ф-циина мн-веX, если

Из опр-ния и существования точной нижней грани следует, что минимизирующая последовательность всегда сущ

Опр. Посл-ть сходится к мн-вуX, если , где ч/зобозначено расстояние от точкидо мн-ва

Замеч. Если мн-во не явл. пустым, то всегда сущ. минимизирующая посл-ность, сходящаяся к.

Пример1: Пусть , мн-воX совпадает со всей числовой прямой . Здесь мн-во решений, и минимальное значение ф-ции тоже равно нулю. Посл-тьявл. минимизир. т.к., нок нулю не стремится при.

Опр. Ф-ция наз. унимодальной на, если она непр. на этом отрезке и сущ. такие числа, такие что:

1. строго монотонно убывает при ,

2. строго монотонно возрастает,

3. при так, что.

Если , функция наз. строго унимодальной.

32.Метод деления отрезка пополам решения задачи одномерной минимизации. Пусть -унимодальна. Решим задачу.

Выберем 2 точки:,, где, являющаяся параметром метода,. Чем меньше значениетем больше точность. Заметим что точки ирасполагаются симметрично относительно середины отрезкаи при малых значенияхделят его практически пополам.

Если , то полагаем

Если, то полагаем

В силу унимодальностиотрезокимеет непустое пересечение с множествомрешений задачи и длинна нового отрезка равна.

Пусть найден отрезок , длина кот.. который имеет непустое пересечение с множеством.

Вычисляем точки:,

и значение ф-ции в них.

Если , то полагаем

Если, то полагаем

Получим отрезок , который имеет непустое пересечение с мн-воми его длина равна

Процесс деления отрезка пополам продолж. до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность, при этом будет проведеноитераций.

Так как каждое деление отрезка пополам требует двух вычислений значений ф-ции, то для достижения заданой точности требуется вычислений ф-ции.

После определения отрезка в качестве точки минимума можно взятьравное:если, если

И значениедаст приближенное значение. При этом погрешностьрешения, то есть отклонение приближенного решения от мн-арешений не превосходит величины.