Задача 6

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной двухлепестковой розой .

5. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами и .

6. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной полуэллипсом , параболой и осью Оу.

7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми и .

8. Вычислить длину дуги полукубической параболы от точки A(2;0) до точки B (6;8)

9. Вычислить длину кардиоиды .

10. Вычислить длину одной арки циклоиды .

11. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

12. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и локоном Аньези .

13. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой .

14. Вычислить площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой .

15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

16. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной эллипсом .

17. Вычислить длину кривой между точками пересечения с осями координат.

18. Вычислить длину полукубической параболы от точки O(0; 0) до точки M .

19. Найти длину дуги полукубической параболы , заключенной внутри окружности .

20. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболой и осью Ох.

21. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .

22. Найти координаты центра тяжести однородной дуги астроиды , расположенной над осью Оx.

23. Найти координаты центра тяжести однородной дуги одной арки циклоиды .

24. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом и осями координат Ох и Оу .

25. Найти работу, совершаемую при выкачивании воды из корыта, имеющего форму полуцилиндра, длина которого а = 2м, радиус r = 0.3м.

26. Найти силу давления бензина, находящегося в цилиндрическом баке высотой h = 3м и радиусом основания r = 1 м, на его стенки. Плотность бензина р.

27. В жидкость с плотностью р погружена круглая пластинка диаметром d = 1.5м, касающаяся поверхности жидкости. Найти силу давления жидкости на пластинку.

28. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси Ох дуги кривой от до .

29. Найти длину дуги кривой .

30. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .

31. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

32. Вычислить площадь фигуры, ограниченной гиперболой и прямой .

33. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью r = 4.

34. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осью Ох.

35. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной цепной линией , осью Ох и прямыми х = ±1.

36. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной параболами у = х² .

37. Вычислить объем тела, образованного вращени­ем вокруг оси Оу фигуры, ограниченной локоном Аньези , прямой и осью Оу.

38. Вычислить длину дуги полукубической параболы от x = 0 до x = 3.

39. Вычислить длину астроиды .

40. Вычислить длину кардиоиды .

41. Найти координаты центра тяжести однородной дуги цепной линии от точки (0, 1) до точки .

42. Найти координаты центра тяжести дуги астроиды , расположенной в первом квадранте, если линейная плотность в каждой ее точке равна абсциссе точки.

43. Деревянная прямоугольная балка, размеры поперечного сечения которой а = 0,4 м, b = 0,2 м, длина l = 4,5 м, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева у = 0,8 Г/см³. Вычислить работу, необходимую для извлечения балки из воды.

44. Растяжение (удлинение) пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу, затрачиваемую при растяжении пружины на 6 см, если сила, равная 2 кГ, удлиняет ее на 1 см.

45. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из сосуда, имеющего форму прямого круглого конуса с вертикальной осью, обращенного вершиной вниз, если радиус основания конуса r = 2 м и высота h = 5 м.

46. Вертикальная плотина имеет форму параболического сегмента, высота которого h—12 м, а верхнее осно­вание совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 30 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

47. Вертикальная плотина имеет форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой совпадает с уровнем воды и имеет длину а = 50 м, нижнее основание b = 20 м, а высота h = 15 м. Вычислить силу давления воды на плотину.

48. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой косинусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

49. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной дугой синусоиды и отрезком оси Ох от х = 0 до .

50. Найти координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами .

Вычислить работу, которую необходимо затратить на выкачивание воды из резервуара Р. Удельный вес воды при­нять равным 9,81кН/м , = 3,14. (Результат округлить до целого числа.)

51. Р: правильная четырехугольная пирамида со сторо­ной основания 2м и высотой 5м.

52. Р: правильная четырехугольная пирамида, обращенная вершиной вниз. Сторона основания пирамиды равна 2 м, высота — 6м.

53. Р: котел, имеющий форму сферического сегмента, высота которого 1,5м и радиус 1м.

54. Р: полуцилиндр, радиус основания которого 1 м, дли­ на 5м.

55. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 1м, нижнего — 2м, высота — Зм.

56. Р: желоб, перпендикулярное сечение которого явля­ется параболой. Длина желоба 5 м, ширина 4 м, глубина 4 м.

57. Р: цилиндрическая цистерна, радиус основания ко­ торой 1м, длина 5м.

58. Р: правильная треугольная пирамида с основанием 2м и высотой 5м.

59. Р: правильная треугольная пирамида, обращенная вершиной вниз, сторона основания которой 4 м, высота 6 м.

60. Р: конус, обращенный вершиной вниз, радиус основания которого 3 м, высота 5м.

61. Р: усеченный конус, у которого радиус верхнего основания равен 3 м, нижнего — 1м, высота — 3м.

62. Р: конус с радиусом основания 2 м и высотой 5 м.

63. Р: правильная четырехугольная усеченная пирамида, у которой сторона верхнего основания 8 м, нижнего — 4 м, высота— 2м.

64. Р: параболоид вращения, радиус основания которо­го 2м, глубина 4м.

65. Р: половина эллипсоида вращения, радиус основания которого 1м, глубина 2м.

66. Р: усеченная четырехугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 4 м, высо­та — 1м.

67. Р: правильная шестиугольная пирамида со стороной основания 1 м и высотой 2м.

68. Р: правильная шестиугольная пирамида с верши­ной, обращенной вниз, сторона основания которой 2 м, высота 6м.

69. Р: цилиндр с радиусом основания 1 м и высотой 3 м.

70. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м.

71. Р: желоб, в перпендикулярном сечении которого лежит полуокружность радиусом 1м, длина желоба 10 м.

72. Р: правильная усеченная шестиугольная пирамида, у которой сторона верхнего основания равна 2 м, нижнего — 1м, высота — 2м.

73. Р: полусфера радиусом 2м.

Вычислить работу, затрачиваемую на преодоление силы тяжести при построении сооружения Q из некоторого матери­ала, удельный вес которого - (Результат округлить до целого числа.)

74. Q: правильная усеченная четырехугольная пирами­ да, сторона верхнего основания которой равна 2 м, нижнего 4м, высота 2м; = 24кН/м³.

75. Q: правильная шестиугольная пирамида со сторо­ной основания 1м и высотой 2м; — 24кН/ м³ .

76. Q: правильная четырехугольная пирамида со стороной основания 2м и высотой 4м; - 24кН/ м³.

77. Q: правильная шестиугольная усеченная пирамида, сторона верхнего основания которой равна 1 м, нижнего 2м, высота — 2м; = 24кН/м³.

78. Q: правильная треугольная пирамида со стороной основания 3 м и высотой 6м; = 20кН/м³ .

79. Q: конус, радиус основания которого 2 м, высота 3 м; = 20 кН/м³.

80. Q: усеченный конус, радиус верхнего основания которого равен 1 м, нижнего — 2 м, высота — 2 м; — 21 кН/ м³

Найти координаты центра масс плоской однородной фигуры Ф, ограниченной данными линиями.

81. Ф — треугольник, стороны которого лежат на пря­мых х + у = a, x = 0 и y = 0.

82. Ф ограничена эллипсом х²/а² + у²/b² = 1 и осями координат (х 0, у 0).

83. Ф ограничена первой аркой циклоиды

х — a(t — sin t), у = a(l — cost) и осью Ох.

84. Ф, ограничена кривыми у = х², .

85. Ф ограничена дугой синусоиды у = sin x и отрезком оси Ох ( ).

86. Ф ограничена полуокружностью и осью Ох.

87. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Ох и прямой х = b.

88. Ф ограничена дугой параболы (а > 0, b > 0), осью Оy и прямой y = b.

89. Ф ограничена замкнутой линией у² = ах³ - х⁴.

90. Ф ограничена осями координат и дугой астроиды, расположенной в первом квадранте.

91. Ф — сектор круга радиусом R с центральным углом, равным 2а.

92. Ф ограничена кардиоидой = а(1 +cos ).

93. Ф ограничена первой петлей лемнискаты Бернулли = a²cos2 .

94. Ф ограничена осями координат и параболой .

95. Ф ограничена полукубической параболой ау² = х³ и прямой х = а (а > 0).

96. 

97. 

98. 

99. r = 3 + sin2 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

100. r = 2 — cos3 между смежными наибольшим и наименьшим радиус-векторами.

Задача 7. Определить и изобразить область существования следующей функции:

7.1. ; 7.2. ;

7.3. ; 7.4. ;

7.5. ; 7.6. ;

7.7. ; 7.8. ;

7.9. ; 7.10. ;

7.11. ; 7.12. ;

7.13. ; 7.14. ;

7.15. ; 7.16. ;

7.17. ; 7.18. ;

7.19. ; 7.20. ;

7.21. ; 7.22. ;

7.23. ; 7.24. ;

7.25. ; 7.26. ;

7.27. ; 7.28. ;

7.29. ; 7.30. ;

7.31. ; 7.32. ;

7.33. ; 7.34. ;

7.35. ; 7.36. ;

7.37. ; 7.38. ;

7.39. ; 7.40. ;

7.41. ; 7.42. ;

7.43. ; 7.44. ;

7.45. ; 7.46. ;

7.47. ; 7.48. ;

7.49. ; 7.50. ;

7.51. ; 7.52. ;

7.53. ; 7.54. ;

7.55. ; 7.56. ;

7.57. ; 7.58. ;

7.59. ; 7.60. ;

7.61. ; 7.62. ;

7.63. ; 7.64. ;

7.65. ; 7.66. ;

7.67. ; 7.68. ;

7.69. ; 7.70. ;

7.71. ; 7.72. ;

7.73. ; 7.74. ;

7.75. ; 7.76. ;

7.77. ; 7.78. ;

7.79. ; 7.80. ;

7.81. ; 7.82. ;

7.83. ; 7.84.

7.85. ; 7.86. ;

7.87. ; 7.88. ;

7.89. ; 7.90. ;

7.91. ; 7.92. ;

7.93. ; 7.94. ;

7.95. ; 7.96. ;

7.97. ; 7.98. ;

7.99. ; 7.100. .

Задача 8. Найти частные производные 1-го порядка следующей функции:

8.1. ; 8.2. ;

8.3. ; 8.4. ;

8.5. ; 8.6. ;

8.7. ; 8.8. ;

8.9. ; 8.10. ;

8.11. ; 8.12. ;

8.13. ; 8.14. ;

8.15. ; 8.16. ;

8.17. ; 8.18. ;

8.19. ; 8.20. ;

8.21. ; 8.22. ;

8.23. ; 8.24. ;

8.25. ; 8.26. ;

8.27. ; 8.28. ;

8.29. ; 8.30. ;

8.31. ; 8.32. ;

8.33. ; 8.34. ;

8.35. ; 8.36. ;

8.37. ; 8.38. ;

8.39. ; 8.40. ;

8.41. ; 8.42. ;

8.43. ; 8.44. ;

8.45. ; 8.46. ;

8.47. ; 8.48. ;

8.49. ; 8.50. ;

8.51. ; 8.52. ;

8.53. ; 8.54. ;

8.55. ; 8.56. ;

8.57. ; 8.58. ;

8.59. ; 8.60. ;

8.61. ; 8.62. ;

8.63. ; 8.64. ;

8.65. ; 8.66. ;

8.67. ; 8.68. ;

8.69. ; 8.70. ;

8.71. ; 8.72. ;

8.73. ; 8.74. ;

8.75. ; 8.76.

8.77. ; 8.78. ;

8.79. ; 8.80. ;

8.81. ; 8.82. ;

8.83. ; 8.84. ;

8.85. ; 8.86. ;

8.87. ; 8.88. ;

8.89. ; 8.90. ;

8.91. ; 8.92. ;

8.93. ; 8.94. ;

8.95. ; 8.96. ;

8.97. ; 8.98. ;

8.99. ; 8.100. .

Задача 9.. Дано: функция z=f(x,y), точка , вектор .

Найти:

1) grad z в точке А;

2) производную функции f(x,y) в точке А в направлении ;

3) уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности z=f(x,y) в точке . Добавить дифференциальные операции поля

9.1. ;

9.2. ;

9.3. ;

9.4. ;

9.5. ;

9.6. ;

9.7. ;

9.8. ;

9.9. ;

9.10. ;

9.11. ;

9.12. ;

9.13. ;

9.14. ;

9.15. ;

9.16. ;

9.17. ;

9.18. ;

9.19. ;

9.20. ;

9.21. ;

9.22. ;

9.23. ;

9.24. ;

9.25. ;

9.26. ;

9.27. ;

9.28. ;

9.29. ;

9.30. ;

9.31. ;

9.32. ;

9.33. ;

9.34. ;

9.35. ;

9.36. ;

9.37. ;

9.38. ;

9.39. ;

9.40. ;

9.41. ;

9.42. ;

9.43. ;

9.44. ;

9.45. ;

9.46. ;

9.47. ;

9.48. ;

9.49. ;

9.50. ;

9.51. ;

9.52. ;

9.53. ;

9.54. ;

9.55. ;

9.56. ;

9.57. ;

9.58. ;

9.59. ;

9.60. ;

9.61. ;

9.62.

9.63. ;

9.64. ;

9.65. ;

9.66. ;

9.67. ;

9.68. ;

9.69. ;

9.70. ;

9.71. ;

9.72. ;

9.73. ;

9.74. ;

9.75. ;

9.76. ;

9.77. ;

9.78. ;

9.79. ;

9.80. ;

9.81. ;

9.82. ;

9.83. ;

9.84. ;

9.85. ;

9.86.

9.87. ;

9.88. ;

9.89. ;

9.90. ;

9.91. ;

9.92. ;

9.93. ;

9.94. ;

9.95. ;

9.96. ;

9.97. ;

9.98. ;

9.99. ;

9.100. .

Задача 10. Найти экстремумы функции:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70. ;

71. ;

72. ;

73. ;

74. ;

75. ;

76. ;

77. ;

78. ;

79. ;

80. ;

81. ;

82. ;

83. ;

84. ;

85. ;

86. ;

87. ;

88. ;

89. ;

90. ;

91. ;

92. ;

93. ;

94. ;

95. ;

96. ;

97. ;

98. ;

99. ;

100. .

Задача 11. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, заданной неравенствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. ;

17. ;

18. ;

19. ;

20. ;

21. ;

22. ;

23. ;

24. ;

25. ;

26. ;

27. ;

28. ;

29. ;

30. ;

31. ;

32. ;

33. ;

34. ;

35. ;

36. ;

37. ;

38. ;

39. ;

40. ;

41. ;

42. ;

43. ;

44. ;

45. ;

46. ;

47. ;

48. ;

49. ;

50. ;

51. ;

52. ;

53. ;

54. ;

55. ;

56. ;

57. ;

58. ;

59. ;

60. ;

61. ;

62. ;

63. ;

64. ;

65. ;

66. ;

67. ;

68. ;

69. ;

70. .

71. ;

72. ;

73. ;

74. ;

75. ;

76. ;

77. ;

78. ;

79. ;

80. ;

81. ;

82. ;

83. ;

84. ;

85. ;

86. ;

87. ;

88. ;

89. ;

90. ;

91. ;

92. ;

93. ;

94. .

95. ;

96. ;

97. ;

98. ;

99. ;

100. .

Задача 12. Вычислить повторные интегралы

00; 34; 68 ;	01; 35; 69 ;
02; 36; 70 ;	03; 37; 71 ;
04;38;72 ;	05; 39; 73 ;
06;40;74 ;	07; 41; 75 ;
08; 42; 76 ;	09; 43; 77 ;
10; 44; 78 ;	11;45;79 ;
12;46;80 ;	13; 47; 81
14;48;82 ;	15; 49; 83 ;
16; 50; 84 ;	17;51; 85 ;
18; 52; 86 ;	19; 53; 87 ;
20; 54; 88 ;	21;55; 89 ;
22; 56; 90 ;	23;57; 91 ;
24;58;92 ;	25; 59; 93 ;
26; 60; 94 ;	27; 61; 95 ;
28;62;96 ;	29;63;97 .
30; 64; 98	31; 65; 99
32; 66	33; 67

Задача 13. Изменить порядок интегрирования. Область интегрирования изобразить на чертеже.

00; 36; 72 ;	01; 37; 73 ;
02; 38; 74 ;	03; 39; 75 ;
04; 40; 76 ;	05; 41; 77 ;
06;42; 78 ;	07; 43; 79 ;
08; 44; 80 ;	09; 45; 81 ;
10; 46; 82 ;	11; 47; 83 ;
12;48;84 ;	13; 49;85 ;
14;50;86 ;	15; 51; 87 ;
16;52; 88 ;	17; 53; 89 ;
18; 4;90 ;	19;55;91 ;
20;56;92 ;	21;57;93 ;
22; 58; 94 ;	23; 59; 95 ;
24; 60; 96 ;	25; 61; 97 ;
26; 62;98 ;	27;63;99 ;
28; 64 ;	29; 65 .
30; 66	31; 67
32; 68	33; 69
34; 70	35; 71

Задача 14. Вычислить криволинейный интеграл

по контуру треугольника , где

00; 34; 68
01; 35; 69
02; 36; 70
03; 37; 71
04; 38; 72			B(4;1)
05; 39; 73		А(1;5)	B(5;1)
06; 40; 74		A(1;6)	B(6;1)
07; 41; 75		A(1;7)	B(7;1)
08; 42; 76		A(1;8)	B(8;1)
09; 43; 77		A(1;9)	B(9;1)
10; 44; 78		A(2;0)	B(0;2)
11; 45; 79		A(2;1)	B(0;2)
12; 46; 80		A(5;1)	B(3;4)
13; 47; 81		A(4;2)	B(5;5)
14; 48; 82		A(5;1)	B(3;6)
15; 49; 83		A(7;2)	B(2;4)
16; 50; 84		A(4:1)	B(-1;5)
17; 51; 85		A(-1;5)	B(-4;1)
18; 52; 86		A(1;-6)	B(4;-1)
19; 53; 87		A(4;4)	B(-2;2)
20; 54; 88		A(1;0)	B(-1;7)
21; 55; 89		A(-2;-5)	B(4;8)
22; 56; 90		A(-2;6)	B(4;2)
23; 57; 91		A(7;7)	B(0;4)
24; 58; 92		A(1;-6)	B(5;5)
25; 59; 93		A(-1;6)	B(-3;-3)
26; 60; 94		A(5;1)	B(-1;5)
27; 61; 95		A(-7;2)	B(1;4)
28; 62; 96		A(6;1)	B(-1;4)
29; 63; 97		A(-5;-5)	B(1;-2)
30; 64; 98		A(-1;6)	B(2;6)
31; 65; 99		A(-2;-4)	B(3;-4)
32; 66		A(-3;-5)	B(5;0)
33; 67		A(1;-5)	B(5;-2}

Задача 15. Вычислить криволинейный интеграл

,

пробегая по часовой стрелке нижнюю дугу эллипса , , если

№ варианта	а	b
00; 31; 62; 93	1	2
01; 32; 63; 94	1	4
02; 33; 64; 95	1	3
03; 34; 65; 96	1	5
04; 35; 66; 97	1	6
05; 36; 67; 98	1	7
06; 37; 68; 99	1	7
07; 38; 69	1	9
08; 39; 70	3	1
09; 40; 71	3	9
10; 41; 72	3	7
11; 42; 73	3	5
12; 43; 74	3	6
13; 44; 75	3	8
14 45; 76	2	1
15; 46; 77	2	3
16; 47; 78	2	4
17; 48; 79	2	5
18; 49; 80	2	6
19; 50; 81	2	7
20; 51; 82	4	1
21; 52; 83	4	2
22; 53; 84	4	3
23; 54; 85	4	5
24; 55; 86	4	6
25; 56; 87	5	1
26; 57; 88	5	2
27; 58; 89	5	3
28; 59; 90	5	4
29; 60; 91	6	2
30; 61; 92	6	3