5. Проекции вектора на оси координат

Пусть в пространстве даны точки А(х₁;у₁;z₁;) и В(х₂;у₂;z₂), - углы которые образует вектор АВ с положительными направлениями осей координат Ох, Оу, Оz. Тогда проекции вектора на оси координат определяется по формулам:

(3.1)

Известно, что: пр_х =х₂-х₁ (3.2)

Аналогично найдем: (3.3)

х₂ - х₁ = Х, у₂ - у₁ = У, z₂ - z₁ = Z (3.4)

Проекции вектора на оси координат называются координатами вектора.

Найдем длину вектора. Для этого рассмотрим произвольный вектор , начало которого проложено в начале координат, а конец этого вектора совпадает в точкой А т.е.. Спроектируем вектор на оси координат и введем обозначения:

Вектор диагональ параллелепипеда, следовательно модуль этого вектора:,или(3.5)

Пусть Х, У, Z координаты вектора , то в дальнейшем этот факт будем писать в виде.

Если вектор задан координатами точек, обозначающие начало и конец вектора, т.е. А(х₁;у₁;z₁) и В(х₁;у₁;z₁), то его координаты обозначаются в виде (4.4) и его модуль определится:

(3.6)

По определению координаты вектора имеем:

Х=У=Z=(3.7)

углы, которые составляет вектор с осями координат. Из (3.6) и (3.7) получим:

,(3.8)

называются направляющими косинусами вектора .

Из (3.8) легко получить: (3.9)

4.Деление отрезка в данном отношении

Эта задача решается, как и соответствующая задача на плоскости. Пусть даны точки пространства А(х₁;у₁;z₁) и В(х₂;у₂;z₂) и точка С(х;у;z) делит отрезок АВ в отношении , т.е.. Тогда как и на плоскости и по аналогии формул (2.2) и (2.3) будем иметь:

; ;.

В частности, координаты середины данного отрезка получаются равными: ;;.

5. Разложение вектора на компоненты

Рассмотрим определенную тройку , , , направленных вдоль осей координат соответственно: вектор вдоль оси Ох, вектор вдоль оси Оу, вектор вдоль оси Оz.. Эти векторы направлены в положительную сторону осей координат. Векторы , , единичные, т.е. ,.

Выразим произвольный вектор через единичные вектора , , :

(4.11) ОА_х=Х, ОА_У=У, ОА_z=Z.

При таких обозначениях: ,,.

При таких обозначениях:

= ,, или

(3.10)

Тогда из (3.9) и (3.10) получим:

(3.11)

Представление вектора в виде (3.11) называется разложением вектора по базису i, j, k. Векторы Х, У,Z принято называть компонентами вектора по базисуi, j, k. Иногда (3.11) называют разложением вектора по координатным осям.

Основные теоремы о проекциях

Теорема 1 Проекция суммы векторов на ось равна сумме проекции этих векторов: пр

Теорема 2 При умножении вектора на число его проекция умножается на то же число:

(3.12)

Если

то имеем:

Векторы иколлинеарные, еслито

отсюда получим (3.13)

(3.13) является условием коллинеарности двух векторов.

1.Скалярное произведение векторов и его основные свойства

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними:

(=cos (3.14)

Из определения скалярного произведения векторов получим следующие алгебраические свойства:

Свойство 1. Скалярное произведение обладает свойством пиреместительности: ()=() (3.15)

Свойство 2. Чтобы умножить сумму, нужно умножить каждое слагаемое и сложить полученные произведения, т.е (свойство распределительности: (+)(3.16)

Свойство 3. Скалярное произведение обладает свойством сочетательности относительно числового множителя:

()=.

Приведём ряд геометрических свойств скалярного произведения:

1. Если угол между векторами иострый, то скалярное произведение положительно, т.е (>0.

2. Если угол между векторами итупой, то скалярное произведение отрицательно, т.е (<0.

3. Если векторы иперпендикулярны друг другу, то скалярное произведение равно нулю, т.е (=0.

4. Если скалярное произведение двух векторов иравно нулю, то векторыивзаимно перпендикулярны.

5. При скалярном умножении вектора самого на себя получается квадрат его модуля, т.е (=(3.17)