§5. Выпуклость графика функции. Точки перегиба

1. График функции имеет на интервалевыпуклость вверх (вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведенной к любой точке этого интервала.

Изобразим графики выпуклых вверх и вниз функций:

Выпуклость вверх Выпуклость вниз

Допустимо называть выпуклую вверх функцию просто выпуклой, а выпуклую вниз функцию вогнутой.

При краткой записи используются обозначения

Выпуклая вверх функция

Выпуклая вверх функция

2. Достаточное условие выпуклости вверх (вниз).

Если функция в каждой точке интервалаимеетто график функции имеет на интервалевыпуклость вверх (вниз).

3. Если в точке график функциивыпуклость вверх меняет на выпуклость вниз или наоборот, то точканазываетсяточкой перегиба.

На графиках укажем точки перегиба:

- точка перегиба.

4. Необходимое условие точки перегиба.

Если в точке график функцииимеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогдав точкеобращается в ноль:

Точки графика, в которых вторая производная равна нулю, или не существует, называются критическими точками II рода.

5. Достаточное условие точки перегиба.

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой окрестности точкии при переходе через эту точку вторая производная меняет знак. Тогда точкаявляется точкой перегиба графика функции

Запишем схематически достаточное условие точки перегиба:

знак знак

поведение поведение

графика y графика y

- точка перегиба.

5.1. Найти точки перегиба, интервалы выпуклости вверх и выпуклости вниз графика функции

Решение. Имеем функция дважды дифференцируема на всей числовой оси. Определим критические точки второго рода:т.е.

Для определения знака второй производной проведем разложения

Определим знак второй производной:

знак

поведение графика

На множестве график функции выпуклый вверх. На множествеграфик функции выпуклый вниз. Точкиявляются точками перегиба. ►

Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графиков функций:

5.2.

5.3.

5.4.

§6. Исследование функций и построение их графиков

При построении графиков функций рекомендуется последовательно рассматривать следующие вопросы:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность.

3. Исследовать функцию на периодичность.

4. Исследовать функцию на непрерывность.

5. Исследовать функцию на наличие асимптот.

6. Исследовать функцию на монотонность и экстремум.

7. Исследовать функцию на выпуклость и точки перегиба.

8. Найти точки пересечения графика функции с осями координат.

9. Для уточнения графика вычислить координаты дополнительных точек.

Пункты 2, 3 и 5 для некоторых видов функций опускаются.

6.1. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена на всей числовой оси.

2. т.е. функция четная, ее график симметричен относительно оси

3. Исследование на периодичность не проводится.

4. Функция непрерывна во всех точках. Вертикальных асимптот нет.

5. Горизонтальных асимптот нет.

Так как то наклонных асимптот нет.

6. 

Точки являются критическими. Покажем знак первой производной:

знак

поведение y

Функция y возрастает на множестве

Функция y убывает на множестве

Точки иявляются точками максимума функций. Точкаявляется точкой минимума функции. Находим значения функции в точках локального экстремума:

7.приОпределяется знак второй производной:

знак

поведение y

Функция выпукла вверх на множестве Функция выпукла вниз на множествеТочкиявляются точками перегиба. Находим значения функции в точках перегиба

8. Определим точки пересечения с осями координат:

1) График функции проходит через начало координат.

2) т.е.Точками пересечения с осью абсцисс являются точки

Строим график функции

►

6.2. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Область определения функции

2. Функция не является четной или нечетной.

3. Функция не является периодической

4. 

Прямая является вертикальной асимптотой.

5. Возможна наклонная асимптота, так как Тогдаиявляется наклонной асимптотой.

6. при иПокажем знаки производной:

знак

поведение y

На множестве функция возрастает. На множествефункция убывает. Точкаявляется точкой локального максимума, а точкаявляется точкой локального минимума. Значения функции в точках экстремума

7. решения нет. При вторая производная не определена, но в этой точке и сама функции не определена. Укажем знак второй производной:

знак

поведение y

На множестве график функции выпуклый вверх, а на множествеграфик функции выпуклый вниз. Точек перегиба нет.

8. Точка пересечения с осями единственная – начало координат

Нарисуем график функции

►

6.3. Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.

1. Функция определена на множестве

2. 3. Исследование на четность и периодичность не проводится.

4. Функция непрерывна на области определения.

5. иявляется вертикальной асимптотой.

Поэтому является горизонтальной асимптотой.

6. приПокажем знаки производной:

знак

поведение y

Функция возрастает на интервале и убывает на множествеТочкаявляется точкой максимума,

7. приОпределяем знак второй производной:

знак

поведение y

График функции выпуклый вверх на множестве и выпуклый вниз на множествеТочкаявляется точкой перегиба,

8. при

Построим график функции

Исследовать функции и построить их графики: