5. Второе достаточное условие экстремума.

Пусть функция задана на интерваледважды дифференцируема. Если в точкевыполняется условието функция в точкедостигает локального минимума. Если же в точкевыполняется условиеито в этой точке функция достигает локального максимума.

3.1. Исследовать функцию на монотонность

Решение. Областью определения функции является отрезок На интервале (0, 4) определена производная функцииПроизводная зануляется прии не существует в точкахино эти точки находятся на границах области определения.

Определим знак производной:

знак

поведение y

Таким образом, функция монотонно возрастает на множестве и монотонно убывает на множестве►

3.2. Функция определена на множествеи дифференцируема на интервалеПо графику производной функции определить интервалы монотонности и точки экстремума функции.

Решение. Производная зануляется в точках эти точки являются критическими. На множествевыполняется неравенствотогда на этом множестве функциямонотонно возрастает. На множествевыполняется неравенствои на этом множестве функция убывает.

Определим знак производной функции

знак

В силу первого достаточного условия экстремума точки иявляются точками локального максимума функции, а точкаявляется точкой локального минимума. ►

3.3. Найти экстремумы и интервалы монотонности функции

Решение. Функция определена на всей числовой оси. Найдем Имеется одна критическая точкаУкажем знак производной:

знак

поведение y

На множестве функция возрастает, а на множествеона убывает. Точкаявляется точкой максимума (локального максимума). ►

3.4. Дан график функции

Указать точки, в которых производная функции не существует.

Решение. В точках нарушается гладкость функции, эти точки являются угловыми. Поэтому в точкахне существует производной функции.►

Исследовать функцию на монотонность и экстремум:

3.5. 3.6.

3.7. 3.8.

§4. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

1. Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения (глобальный максимум и минимум) функции на отрезкеследует выбрать наибольшее и наименьшее из значений в критических точках, находящихся на интервалеи на концах отрезка (в точкахa и b).

2. Если дифференцируемая на интервале функцияимеет единственную точку экстремума, то в этой точке достигается наибольшее или наименьшее значения (глобальный максимум или минимум) функций на интервале.

4.1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Решение. Производная функции обращается в ноль в точкахкоторые лежат на рассматриваемом отрезкеНайдем значения в этих точках и на концах отрезка:Наибольшим из найденных значений функции является. Поэтому наибольшее значение функции на отрезкедостигается в точкеи оно равноНаименьшим из найденных значений функции является 0. Поэтому наименьшее значение функции на отрезкедостигается в точкеи оно равно 0:

4.2. Найти наибольшее или наименьшее значение функции на интервале

Решение. Найдем Критическими точками являютсяиНа интервалеимеется только одна критическая точкаОпределим знак производной на интервале

знак

Тогда точка является точкой максимума. Следовательно, функция достигает наибольшее значение прии оно равно 0,5:

►

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке:

4.3.

4.4.

Найти глобальный максимум или минимум функции на интервале:

4.5. на

4.6. на