7. Методы формализованного представления систем. Построение математических моделей инфраструктуры и производственных объектов, процессов сервиса

Цель: Дать представление о методах формализованного представления систем. Раскрыть суть аналитических, графических методов и их роль в системных исследованиях. Познакомить с процедурами решения задач линейного программирования.

Основные положения темы: Классификация методов формализованного представления систем (МФПС) и роль в системных исследованиях. Аналитические методы. Статистические методы. Теоретико-множественные методы. Графические методы. Логические методы (методы математической логики). Математическая лингвистика и семиотика. Понятие о математическом программировании. Математические постановки задач, приводящие к моделям линейного программирования. Методы и технологии решения задач линейного программирования.

Краткий теоретический материал по теме. Основные понятия и определения.

Методы формализованного представления систем (МФПС) – класс методов, выделенный в классификации моделирования систем, предложенной выше.

Ниже кратко характеризуется классификация Ф.Е. Темникова, в которой выделяются следующие обобщенные группы (классы) МФПС:

• аналитические, к которым в рассматриваемой классификации отнесены методы классической математики, включая интегро-дифференциальное исчисление, методы поиска экстремумов функций, вариационное исчисление и т. п.; методы математического программирования; первые работы по теории игр и т. п.;

• статистические, включающие и теоретические разделы математики - теорию вероятностей, математическую статистику, и направления прикладной математики, «пользующие стохастические представления - теорию массового обслуживания, методы статистических испытаний (основанные на методе Монте-Карло), методы выдвижения и проверки статистических гипотез А. Вальда и другие методы статистического имитационного моделирования);

• теоретико-множественные, логические, лингвистические, семиотические представления (методы дискретной математики), составляющие теретическую основу разработки языков моделирования, автоматизации проектирования, информационно-поисковых языков;

• графические, включающие теорию графов и разного рода графические представления информации типа диаграмм, гистограмм и других графиков.

Кроме того, в математике постоянно возникают новые направления как бы «на пересечении» методов, отнесенных к приведенным укрупненным группам. Для удобства выбора методов решения реальных практических задач на базе математических направлений развиваются прикладные и предлагаются их классификации.

Все методы современной математики не может глубоко знать ни один специалист, однако при выборе метода важно понимать особенности того или иного направления и возможности его использования, а, выбрав метод, пригласить соответствующих специалистов, владеющих им. Выбор метода зависит от предшествующего опыта разработчиков и управленческих работников. Ошибки в выборе методов моделирования на начальных этапах постановки задачи могут существенно повлиять на дальнейший ход работ, затянуть их или привести в тупик, тогда решение вообще не будет получено.

Рассмотрим сущность метода математического программирования, относящегося к аналитическим МФПС. В экономике, управлении оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного объекта, когда возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по некоторому правилу, критерию, характеризуемому соответствующей целевой функцией (например, иметь минимум затрат, максимум прибыли).

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл подобных экономических задач. Отличительной особенностью этих моделей является наличие условия нахождения оптимального решения (критерия оптимальности), которое записывается в виде функционала. Эти модели при определенных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования состоит в определении наибольшего или наименьшего значения целевой функции f (x₁, x₂, …, x_n) при условиях g_i (x₁, x₂, …, x_n)<=b_i; (i=1, 2, …, m), где f и g_i – заданные функции, а b_i – некоторые действительные числа.

Задачи математического программирования делятся на задачи линейного и нелинейного программирования. Если все функции f и g_i – линейные, то соответствующая задача является задачей нелинейного программирования.

Линейное программирование – область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения задач нахождения экстремума (максимума или минимума) линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, т.е. линейных равенств или неравенств, связывающих эти переменные. К задачам линейного программирования сводится широкий круг вопросов планирования экономических процессов, где ставится задача поиска наилучшего (оптимального) решения.