§ 7. Модальные логики

В классической двузначной логике рассматривались простые и сложные ассерторические суждения, т.е. такие, в которых не установлен характер свя­зи между субъектом и предикатом, например: «Морская вода соленая» или «Дождь то начинал хлестать теплыми крупными каплями, то переставал».

В модальных суждениях раскрывается характер связи между субъектом и предикатом или между отдельными простыми суждениями в сложном модальном суждении. Например: «Необходимо, что металлы — проводни­ки электрического тока» или «Если будет дуть попутный ветер, то, возмож­но, мы приплывем в гавань до наступления темноты».

Модальными являются суждения, которые включают модальные опера­торы (модальные понятия), т.е. слова «необходимо», «возможно», «невоз­можно», «случайно», «запрещено», «хорошо» и многие другие (см. главу III, § 6 «Деление суждений по модальности»). Модальные суждения рассматри­ваются в специальном направлении современной формальной логики — в модальной логике.

Изучение модальных суждений имеет длительную и многогранную ис-, торию. Мы отметим лишь некоторые из ее аспектов. Модальности в логи­ку были введены Аристотелем. Термин «возможность», по Аристотелю,, имеет различный смысл. Возможным он называет и то, что необходимо, и то, что не необходимо, и то, что возможно. Исходя из понимания модаль-, ности «возможность», Аристотель писал о неприменимости закона исклю­ченного третьего к будущим единичным событиям.

Наряду с категорическим силлогизмом Аристотель исследует и модаль­ный силлогизм, у которого одна или обе посылки и заключение являютсямодальными суждениями. Я.Лукасевич в книге «Аристотелевская силлоги стика с точки зрения современной формальной логики» две главы посвя­щает аристотелевской модальной логике предложений (гл. VI) и модальной силлогистике Аристотеля (гл. VIII)¹. Аристотель рассматривает модальную силлогистику по образцу своей ассерторической силлогистики: силлогиз­мы подразделяются на фигуры и модусы, неправильные модусы отбрасыва­ются с помощью их интерпретации на конкретных терминах.

Согласно Аристотелю, случайность есть то, что не необходимо и не не­возможно, т.е. р — случайно означает то же самое, что и р — не необходимо и р — не невозможно, но Лукасевич отмечает, что аристотелевская теория случайных силлогизмов полна серьезных ошибок². Итог исследований Лу-касевича такой: пропозициональная модальная логика Аристотеля имеет огромное значение для философии; в работах Аристотеля можно найти все элементы, необходимые для построения полной системы модальной логи­ки; однако Аристотель исходил из двузначной логики³, в то время как мо­дальная логика не может быть двузначной. К идее многозначной логики Аристотель подошел вплотную, рассуждая о «будущем морском сражении».Следуя Аристотелю, Лукасевич в 1920 г. построил первую многозначную (трехзначную) логику. Так осуществляется связь модальных и многознач­ных логик.

Значительное внимание разработке модальных категорий уделяли фило­софы в Древней Греции и особенно Диодор Крон, рассматривавший мо­дальности в связи с введенной им временной переменной. В средние века модальным категориям также уделялось большое внимание. В XIX в. кате­горию вероятности разрабатывали Дж.Буль и П.С.Порецкий.

Возникновение модальной логики как системы датируется 1918 г., когда американский логик и философ Кларенс Ирвинг Льюис (1883-1964) в ра­боте «A Survey of Symbolic Logic» сформулировал модальное исчисление, названное им впоследствии S3.

В книге «Simbolic Logik», написанной им совместно с К.Лэнгфордом в 1932 г., он сформулировал еще пять модальных логических систем, свя­занных с S3 и между собой. Это — системы SI, S2, S4, S5, S6.

Приведем описание модальной системы S1¹. I. Исходные символы:

I.р, q, r и т.д. — пропозициональные переменные; 2.~р — отрицание/);

З.р-q — конъюнкция р и q,

4.p<q — строгая импликация льюисовской системы;

5.0 р — модальный оператор возможности (возможно р);

6.p = q — строгая эквивалентность, р - q равносильно (р < q) • (q < р).

II.Аксиомы системы S1: l)p-q<q-p;

2) p-q<p; 3)/?</?•/?;

(p-q)-r<p-(q-r);

Р<~~р;

(p<q)-(q<r)<(p<i);

p-(p<q)<q.

Аксиома 5 может быть выведена из остальных, как было показано позд­нее. Так как конъюнкция связывает «сильнее», чем импликация, то скобки можно опустить или заменить их точками, как это сделано у Льюиса.

III.Правила вывода S1:

Правило подстановки. Любые два эквивалентных друг другу выраже­ ния взаимозаменимы.

Любая правильно построенная формула может быть подставлена вместо р, или q, или г и т.д. в любом выражении.

Если выводимо/? и выводимо q, то выводимо/? • q .

Если выводимо /? и выводимо p<q,io выводимо q.

Льюис построил модальную пропозициональную логику S1 в виде рас­ширения немодального (ассерторического) пропозиционального исчисле­ния. При этом основные черты S1 и других его исчислений были скопиро­ваны с формализованной логической системы Principia Mathematica Рассе­ла и Уайтхеда, сформулированы с помощью понятий, только терминологи­чески отличающихся от понятий, использованных в Principia Mathematica. Кроме Рассела и Уайтхеда, идеи классической логики развивали многие со­временные математические логики, например, американский логик и ма-

тематик С.Клини¹. Исчисления Льюиса построены аксиоматически по об­разцу Principia, и по аналогии с Principia Льюис доказывает ряд специфиче­ских теорем.

В классической двузначной логике логическое следование отождествля­ется с материальной импликацией и допускаются такие формы вывода:

(1)

т.е. истинное суждение следует из любого суждения («истина следует от-,куда угодно»),

/> -» 0 -» ?), (2)

т.е. из ложного суждения следует любое суждение («из лжи следует все, что угодно»). Это противоречит нашему содержательному, практическому пони­манию логического следования, поэтому данные формулы, как и некоторые другие, и соответствующие им принципы логического следования называ­ются парадоксами материальной импликации.

Льюис создал свои новые системы с целью избежать этих парадоксов и ввести новую импликацию, названную им «строгой импликацией», та­кую, чтобы логическое следование представлялось не чисто формально, а по смыслу (содержательно) и новая импликация была ближе к связке ес­тественного языка «если, то». В строгой импликации Льюиса/) <q невоз­можно утверждать антецедент, т.е. р, и отрицать консеквент, т.е. q².

В системах Льюиса были устранены парадоксы материальной имплика­ции, т.е. формулы (1) и (2) стали невыводимыми, но появились парадоксы строгой импликации. К ним относятся, например, такие формулы:

(3) (4)

Итак, отождествлять строгую импликацию Льюиса со следованием нельзя.

С целью исключить парадоксы строгой импликации Льюиса немецкий математик и логик Ф.ВАккерман (1896-1962) построил свою систему мо­дальной логики. Он ввел так называемую сильную импликацию, которая не тождественна строгой импликации Льюиса, и модальные операторы Аккермана и Льюиса также не являются тождественными. Аккерман все логические термины и модальные операторы определяет через сильную импликацию так: NA равносильной -» X, МА равносильно А-*К. Здесь А — любая правильно построенная формула системы Аккермана; N — опера­тор необходимости;М— оператор возможности;А — отрицание Л; -»обо­значает сильную импликацию; А, — логическая постоянная, обозначающая «абсурдно». Эта постоянная в свою очередь определяется так: А & А -» А, где & обозначает конъюнкцию. И последняя формула читается так: из противоречия, т.е. А и не-А, следует абсурд. В системе Аккермана не вы­водятся формулы, структурно подобные парадоксам материальной или строгой импликации.

Системы Льюиса и Аккермана являются бесконечнозначными. В отли­чие от этих систем первоначально построенные системы Лукасевича явля­ются конечнозначными: одна — трехзначная (1920), другая — четырехзнач­ная (1953). В четырехзначной системе Лукасевича¹ также обнаружены па­радоксы. Главный из них состоит в том, что ни одно аподиктическое пред­ложение не истинно, т.е. ни одно суждение вида La (где L обозначает необ­ходимость, а a — любая формула) не является истинным. Это означало бы, что необходимых суждений нет, т.е. модальный оператор «необходимо» уп­раздняется. Лукасевич пишет: «Любое аподиктическое предложение долж­но быть отброшено»². Сам Лукасевич считал это достоинством своей систе­мы, а понятие «необходимость» — псевдопонятием. С такой точкой зрения, конечно, согласиться нельзя.

Интерпретации модальных логик различны. Известный австрийский философ и логик Р.Карнап (1891-1970) пытался интерпретировать модаль­ные понятия (операторы) с помощью так называемой теории «возможныхмиров», в которой допускается наличие множества «миров», один из кото­рых — действительный, реальный мир, а остальные — возможные миры.

Необходимым объявляется то, что существует во всех мирах, возможным — то, что существует хотя бы в одном.

Р.Карнап в 1946 г., используя понятие «описание состояния», предложил интерпретацию модальных операторов, в основе которой лежала идея раз­личия возможного и действительного мира.

В ином направлении шел финский логик Я.Хинтикка. Критически пере­осмыслив введенное Карнапом понятие «описание состояния», он разрабо­тал технику «модальных множеств», т.е. миров (1957), — оригинальную се­мантическую концепцию возможных миров. Разработка семантики воз­можных миров для модальных логик продолжается.

Разнообразными проблемами модальной логики занимается американ­ский логик Р. Фейс¹.

В настоящее время разработаны многие виды модальностей, которые от­ражены в таблице, помещенной на с. 86 данного учебника.

Теорией модальных логик и построением новых модальных логических систем активно занимаются логики А.А.Ивин², ЯАСлинин³, Б.С.Чендов⁴, О.Ф.Серебряников, В.Т.Павлов и др.