9.1. Задача про розподіл коштів між підприємствами

Задача 9.1. Планується діяльність чотирьох промислових підприємств на черговий рік. Початкові кошти: тис. грош. од. Коштиx, виділені k-му підприємству (k=1,2,3,4), приносять наприкінці року прибуток . Функціїзадані таблично (табл. 9.1). Визначити, скільки коштів потрібно виділити кожному підприємству, щоб сумарний прибуток був найбільшим.

				Таблиця 9.1
x
75	100	110	100		120
150	200	210	210		210
225	250	250	260		260
300	350	340	360		340

Рішення

Система управління – чотири підприємства, а управління полягає у розподілі коштів між ними. Процес управління розбиваємо на чотири кроки: номер кроку – номер підприємства,n=4. Параметр стану –(k=1,2,3,4)–кошти, що підлягають розподілу між4–kостанніми підприємствами, кінцевий стан– усі кошти мають бути вкладені у виробництво. Змінна управління –(k=1,2,3,4)– кількість коштів, виділених k-му підприємству. Схема процесу розподілу коштів наведена нарис. 9.2.

Рис. 9.2

Рівняння станів (9.1) у даній задачі мають вид:

, k=1,2,3,4.

Показник ефективності k-го кроку – прибуток, отриманий k-м підприєм-ством наприкінці року: ,k=1,2,3,4.

Сумарний показник ефективності – сумарний прибуток .

Нехай – умовний оптимальний прибуток, отриманий відk-го, (k+1)-го, …, 4-го підприємств, якщо між ними кошти () розподілялися оптимально. Тоді оптимальний сумарний прибуток.

Рівняння Беллмана мають вид:

, (9.4)

, (9.5)

, (9.6)

. (9.7)

Послідовно розв’язуємо записані рівняння, здійснюючи умовну оптимізацію (див. рис. 9.2) кожного кроку.

IV крок. У табл. 9.1. прибутки монотонно зростають, тому умовний оптимальний прибуток від 4-го підприємства (див. формулу (9.4)):

при .

Для можливих значень одержимо:

, ,

, .

III крок. Умовний оптимальний прибуток від 3-го і 4-го підприємств (див. формулу (9.5)) для можливих значень :

при ;

при ;

при ;

при .

II крок. Умовний оптимальний прибуток від 2-го, 3-го і 4-го підприємств (див. формулу (9.6)) для можливих значень :

при ;

при ;

при ;

при .

I крок. Оптимальний прибуток від чотирьох підприємств (9.6):

при .

На цьому умовна оптимізація закінчується. Використовуючи її результат, одержимо

, ,

,

, .

Отже, оптимальне управління: .

Висновок: максимум сумарного прибутку дорівнює 440 тис. грош. од. за умови, що 1-му підприємству кошти не виділяються; 2-му підприємству виділяється 75 тис. грош. од.; 3-му підприємству – 150 тис. грош. од.; 4-му підприємству – 75 тис. грош. од.