Перелік питань для самоперевірки

1. Математична постановка задач цілочислового (дискретного) програмування.

2. Метод відсікань Гоморі.

Лекція 6

Тема 7. Елементи теорії ігор

В даній темі розглядаються кінцеві ігри двох осіб з нульовою сумою (виграш одного з гравців дорівнює програшу іншого).

Вихідною інформацією для такої гри є платіжна матриця i=1,…,m; j=1,…,n, загальний вид якої наведений у табл. 7.1.

Таблиця 7.1

	B1	B2	…	Bn
A1	a11	a12	…	a1n
A2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Am	am1	am2	…	amn

Ця матриця інтерпретується наступним чином. Гравець A має m стратегій: A₁, A₂,…, A_m (рядки матриці). Гравець B має n стратегій: B₁, B₂,…, B_n (стовпці матриці). У результаті вибору гравцями будь-якої пари стратегій A_i і B_j (i=1,…, m; j=1,…, n) однозначно визна-

чається результат гри, тобто виграш a_ij гравця A (додатний чи від’ємний) і програш (a_ij) гравця В.

Величину

називають нижньою ціною гри. Це максимальний гарантований виграш гравця A при будь-якій стратегії гравця B.

Величину

називають верхньою ціною гри. Це мінімальний гарантований програш гравця B.

Рішення матричної гри (табл. 7.1) полягає у пошуку оптимальних стратегій для кожного гравця, тобто стратегій, при виборі яких гравець A одержує максимальний гарантований (не залежний від поведінки гравця В) виграш, а гравець В отримує мінімальний гарантований (незалежний від поведінки гравця A) програш (принцип мінімакса). Виграш, що відповідає оптимальному рішенню, називається ціною гри v.

Завжди має місце нерівність _.

Якщо верхня і нижня ціни гри збігаються (), то говорять, що гра має сідлову точку, тобто елемент a_kl, що є одночасно найбільшим у своєму стовпці і найменшим у своєму рядку. Відповідна цьому елементу пара чистих стратегій A_k і B_l дає оптимальне рішення гри.

Задача 7.1. Визначити нижню і верхню ціну гри, заданою платіжною матрицею

_.

Чи має гра сідлову точку?

Рішення

Таблиця 7.2

	B1	B2	B3	i
A1	0,5	0,6	0,8	0,5
A2	0,9	0,7	0,8	0,7
A3	0,7	0,6	0,6	0,6
j	0,9	0,7	0,8	==0,7

Усі розрахунки зручно звести в таблицю, до якої, крім матриці P, додається стовпець _i і рядок _j (табл. 7.2), де

, .

Аналізуючи рядки матриці (стратегії гравця A), заповнюємо стовпець _i: ₁= 0,5, ₂= 0,7, ₃= 0,6 – мінімальні числа в рядках 1, 2, 3. Аналізуючи стовпці матриці (стратегії гравця B), заповнюємо рядок _j: ₁= 0,9, ₂= 0,7, ₃= 0,8 – максимальні числа в стовпцях 1, 2, 3 відповідно. Нижня ціна гри – найбільше число в стовпці _i. Верхня ціна гри – найменше число в рядку _j. Ці значення рівні, тобто , і досягаються на одній і тій же парі стратегій (A₂,B₂). Отже, гра має сідлову точку (A₂,B₂) і її ціна . Це означає, що гравець A при постійному використанні стратегії A₂ одержує максимальний гарантований виграш, що дорівнює 0.7, а гравець B при постійному використанні стратегії B₂ одержує мінімальний гарантований програш.

У випадку, коли гра не має сідлової точки (), можна отримати оптимальне рішення, відповідним чином чергуючи чисті стратегії.

Змішаною стратегією S_A гравця A називається застосування чистих стратегій A₁,…, A_m з ймовірностями p₁,…, p_m, причому . Змішані стратегії гравця A записуються символом

, або .

Аналогічно змішані стратегії гравця B позначаються як

, або ,

де сума ймовірностей дорівнює 1: .

Чисті стратегії можна вважати окремим випадком змішаних і задавати одиничним вектором, у якому 1 відповідає чистій стратегії. Наприклад, .

Зауваження 7.1. Якщо платіжна матриця P містить від’ємні елементи, то для розв’язання задачі у змішаних стратегіях варто перейти до еквівалентної матриці з невід’ємними елементами. Для цього до всіх елементів вихідної матриці треба додати число |k|, де k – найбільший за модулем від’ємний елемент матриці P. При цьому рішення задачі не зміниться, а ціна гри збільшиться на величину |k|.

Ігри розміру 22, 2n, n2 можна розв’язати графічним методом.

Розв’язок будь-якої гри mn може бути зведений до рішення задачі лінійного програмування.